数学竞赛每日一练 第12期解答

解答 由数列的定义可知𝑎_(1)=1，𝑎_(2)=2．假设对某个整数𝑟≥2有𝑎_(𝑡)=𝑟，我们证明对𝑡=1,⋯,𝑟−1，有

对𝑡归纳证明．

当𝑡=1时，由于𝑎_(𝑟)=𝑟≥𝑟，由定义，

公式：a_{r+2}=a_{r+1}-(r+1)=2r-(r+1)=r-1< r+2

结论成立．

设结论对某个1≤𝑡≤𝑟−1成立，则由定义

公式：\begin{align*} a_{r+2t+1}=&a_{r+2t}+(r+2t)\\ =&r-t+r+2t\\ =&2r+t\\ >& r+2t+1 \end{align*}

公式：\begin{align*} a_{r+2t+2}=&a_{r+2t+1}-(r+2t+1)\\ =&2r+t-(r+2t+1)\\ =&r-t-1\\ <& r+2t+2 \end{align*}

即结论对𝑡+1也成立．由数学归纳法知，结论对所有𝑡=1,2,⋯,𝑟−1成立，特别当𝑡=𝑟−1时，由𝑎_(3𝑟−2)=1，从而

若将所有满足𝑎_(𝑟)=𝑟的正整数𝑟从小到大记为𝑟_(1)，𝑟_(2)，⋯，则由上面的结论可知𝑟_(1)=1，𝑟_(2)=2，𝑟_(𝑘+1)=3𝑟_(𝑘)−1，𝑘=2,3,⋯．由此可知，

公式：r_{k+1}-\dfrac{1}{2}=3\left(r_k-\dfrac{1}{2}\right),k=1,\cdots,m-1

从而

公式：r_m=3^{m-1}\left(r_1-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3^{m-1}+1}{2}

由于

公式：r_{2018}=\dfrac{3^{2017}+1}{2}< 3^{2017}< \dfrac{3^{2018}+1}{2}=r_{2019}

于是，对每个𝑘=1,2,⋯,2017，𝑟_(𝑘)+1，𝑟_(𝑘)+2，⋯，3𝑟_(𝑘)−2中恰有一半满足𝑎_(𝑟)<𝑟．由于𝑟_(2018)+1=(3^(2017)+1)/(2)与3^(2017)均为奇数，而在𝑟_(2018)+1，⋯，3^(2017)中，奇数均满足𝑎_(𝑟)>𝑟，偶数均满足𝑎_(𝑟)<𝑟，其中的偶数比奇数少1个．因此满足𝑎_(𝑟)<𝑟≤3^(2017)的正整数𝑟的个数为

公式：\dfrac{1}{2}\left(3^{2017}-2018-1\right)=\dfrac{3^{2017}-2019}{2}．