数学竞赛每日一练 第4期解答

解答 给出两个定义：

1. 如果正整数𝑛能表示成其𝜑(𝑛)+1个约数之和，且其中至少有3个为1，则称𝑛为“幸运数”；
2. 如果正整数𝑛能表示成其𝜑(𝑛)+1个约数之和，但其中1的数量少于3，则称𝑛为“伪幸运数”．

我们证明以下结论：

1. 除2和4外，所有素数的正整数次幂均为“幸运数”．

证明：注意到 𝑝^(𝑡)=1+⋯+1_()_(𝜑(𝑝^(𝑡)))+𝑝^(𝑡−1)．

证明：由定义可设：

于是

公式：\begin{align*} qr=&\left(a_{1}+\cdots+a_{\varphi(q)-2}\right)\left(b_{1}+\cdots+b_{\varphi(r)-2}\right)\\ &+(1+1)\left(a_{1}+\cdots+a_{\varphi(q)-2}\right)\\ &+(1+1)\left(b_{1}+\cdots+b_{\varphi(r)-2}\right)\\ &+q+r+1+1+1 \end{align*}

上式展开后共有

公式：\begin{align*} &(\varphi(q)-2)(\varphi(r)-2)+2(\varphi(q)-2)+2(\varphi(r)-2)+5\\ =&\varphi(q)\varphi(r)+1\\ =&\varphi(qr)+1 \end{align*}

项，且每一项均为𝑞𝑟的约数，证毕．

证明：𝜑(2𝑛)=𝜑(𝑛)，将𝑛的“幸运数”表达式中每一个数同时乘以2，即得2𝑛的“伪幸运数”表达式．

设2𝑛=𝑏_(1)+⋯+𝑏_(𝜑(𝑛)+1)，于是

公式：4n=2(b_1+\cdots+b_{\phi(n)})+2b_{\phi(n)+1}

上式展开后有2𝜑(𝑛)+1=𝜑(4𝑛)+1项，证毕．

综上，所有正整数或为“幸运数”，或为“伪幸运数”，故本题结论成立．