系列：数学竞赛每日一练
含解答
数学竞赛每日一练 第16期解答
正文文字 21 字公式 9 处
𝑎，𝑏，𝑐为满足(1)/(𝑎^(2))+(1)/(𝑏^(2))+(1)/(𝑐^(2))=(27)/(4)的正实数．求证：
公式：\dfrac{a^3+b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3+c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3+a^2}{c^2+a^2}\geq\dfrac{5}{2}\text{．}展开解答收起解答
证明 由均值不等式，𝑥>0时，
即𝑥^(3)≥𝑥^(2)−(4)/(27)．因此
公式：\begin{align*}
&\dfrac{a^3+b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3+c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3+a^2}{c^2+a^2}\\
\geq&\dfrac{a^2+b^2-\dfrac{4}{27}}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2+c^2-\dfrac{4}{27}}{b^2+c^2}\dfrac{c^2+a^2-\dfrac{4}{27}}{c^2+a^2}\\
=&3-\dfrac{4}{27}\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\right)\\
\geq&3-\dfrac{1}{27}\left(\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)+\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)+\left(\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2}\right)\right)\\
=&3-\dfrac{2}{27}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\\
=&\dfrac{5}{2}
\end{align*}
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