数学竞赛每日一练 第24期解答

证明 注意到

公式：1^2+2^2+\cdots+(n-1)^2=\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}

与不等式右边形式一致，故考虑把不等式左边放缩为𝑛−1个平方之和．

不妨设0<𝑥_(1)<𝑥_(2)<⋯<𝑥_(𝑛)<1，对1≤𝑟≤𝑛−1，下标差为𝑟的所有加项（下标模𝑛考虑）为：

公式：\left\{x_{1+r}-x_1\right\}^2+\left\{x_{2+r}-x_2\right\}^2+\cdots+\left\{x_{n+r}-x_n\right\}^2

于是

公式：\begin{align*} &\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\left\{x_i-x_j\right\}^2\\ =&\sum\limits_{r=1}^{n-1}\left(\left\{x_{1+r}-x_1\right\}^2+\left\{x_{2+r}-x_2\right\}^2+\cdots+\left\{x_{n+r}-x_n\right\}^2\right)\\ \geq&\sum\limits_{r=1}^{n-1}\dfrac{1}{n}\left(\left\{x_{1+r}-x_1\right\}+\left\{x_{2+r}-x_2\right\}+\cdots+\left\{x_{n+r}-x_n\right\}\right)^2\\ =&\sum\limits_{r=1}^{n-1}\dfrac{1}{n}\cdot r^2\\ =&\dfrac{(n-1)(2n-1)}{6} \end{align*}

倒数第二行等号成立的理由如下：

公式：\left\{x_{n+1}-x_{n-r+1}\right\}=1+x_{n+1}-x_{n-r+1}