数学竞赛每日一练 第20期解答

证明 设

公式：\begin{align*} f(x)=&(x-a)(x-b)(x-c)\\ =&x^3-px^2+qx-r\\ \end{align*}

于是有𝑎+𝑏+𝑐=𝑝，𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=𝑞，𝑎𝑏𝑐=𝑟．

由

公式：\{a+b,b+c,c+a\}=\{ab,bc,ca\}

有

公式：(a+b)+(b+c)+(c+a)=ab+bc+ca

即2𝑝=𝑞．

公式：\begin{align*} &(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)\\ =&(ab)(bc)+(bc)(ca)+(ca)(ab) \end{align*}

即

公式：(a+b+c)^2+(ab+bc+ca)=abc(a+b+c)

也即𝑝^(2)+𝑞=𝑝𝑟，结合𝑞=2𝑝知

故𝑝=0或𝑝=𝑟−2．

公式：(a+b)(b+c)(c+a)=(ab)(bc)(ca)

即

公式：(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(abc)^2

也即𝑝𝑞−𝑟=𝑟^(2)，结合𝑞=2𝑝知

若𝑝=0，则𝑞=0，𝑟^(2)+𝑟=0，故𝑟=0或𝑟=−1．因此𝑓(𝑥)=𝑥^(3)或𝑓(𝑥)=𝑥^(3)+1，均不含三个不相等的实根，矛盾！因此𝑝=𝑟−2．

于是2(𝑟−2)^(2)=𝑟^(2)+𝑟即𝑟^(2)−9𝑟+8=0．于是𝑟=1或𝑟=8．

𝑟=8时，𝑝=6，𝑞=12，此时

公式：f(x)=x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3

其不含三个不相等的实根，矛盾！

𝑟=1时，𝑝=−1，𝑞=−2，此时

容易验证其有三个不相等的非零实根，且任意两根之和不为0．

下面证明：

公式：f(a^2-2)=f(b^2-2)=f(c^2-2)=0

注意到：

公式：\begin{align*} f(x^2-2)=&(x^2-2)^3+(x^2-2)^2-2(x^2-2)-1\\ =&x^6-5x^4+6x^2-1\\ =&(x^3-2x)^2-(x^2-1)^2\\ =&(x^3+x^2-2x-1)(x^3-x^2-2x+1)\\ =&f(x)(x^3-x^2-2x+1) \end{align*}

由

即得

公式：f(a^2-2)=f(b^2-2)=f(c^2-2)=0

于是𝑎^(2)−2，𝑏^(2)−2，𝑐^(2)−2也为𝑓(𝑥)的根，且互不相等．

因此

公式：\{a,b,c\}=\{a^2-2,b^2-2,c^2-2\}．