数学竞赛每日一练 第21期解答

解答 若𝑎≥0，此曲线在𝑥>0时只位于第一象限．设𝑦轴右侧正方形顶点为𝐴，𝐵，那么𝑂𝐴^(→−)和𝑂𝐵^(→−)的夹角必为锐角，不合题意．

若𝑎<0，假设𝐴在第一象限，𝐵在第四象限．则𝑂𝐴⊥𝑂𝐵，且𝑂𝐴=𝑂𝐵．由对称性，只需考虑𝑥>0时的情形．

设𝑂𝐴：𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0)，则𝑂𝐵：𝑦=−(1)/(𝑘)𝑥．

联立

得𝐴(√(𝑘−𝑎),𝑘√(𝑘−𝑎))，同理𝐵(√(−(1)/(𝑘)−𝑎),−(1)/(𝑘)√(−(1)/(𝑘)−1))．

由𝑂𝐴=𝑂𝐵得：

公式：(k-a)(1+k^2)=\left(-\dfrac{1}{k}-a\right)\left(1+\dfrac{1}{k^2}\right)

即

于是原题等价于：求负数𝑎，使方程

恰有一个正数解．

公式：\begin{align*} k^4-ak^3+ak+1=0\\ \iff k^2+\dfrac{1}{k^2}=a\left(k-\dfrac{1}{k}\right) \end{align*}

显然𝑘≠1，令𝑡=𝑘−(1)/(𝑘)≠0，则𝑡^(2)+2=𝑎𝑡．

即求负数𝑎，使𝑡^(2)−𝑎𝑡+2=0恰有一个非零实数解．

于是Δ=𝑎^(2)−8=0且𝑎<0．

∴𝑎=−2√(2)．