数学竞赛每日一练 第15期解答

证明 𝑝=2时，由枚举法知结论显然成立．

𝑝为奇素数时，由费马小定理知

公式：0\equiv (3p)^p=x^p+y^p\equiv x+y({\rm{mod}}\ p)

而𝑥,𝑦<3𝑝，故𝑥+𝑦=𝑝，2𝑝，3𝑝，4𝑝或5𝑝，由奇偶性可排除2𝑝，4𝑝，又注意到

故必有𝑥+𝑦=5𝑝．

且由𝑥,𝑦<3𝑝可知2𝑝<𝑥,𝑦<3𝑝．设𝑥=2𝑝+𝑘，则

公式：\begin{align*} &x^p+y^p\\ =&(2p+k)^p+(2p+(p-k)^p\\ =&Cp^3+2p^2k^{p-1}+k^p+2p^2(p-k)^{p-1}+p^2k^{p-1}-k^p\\ =&Cp^3+3p^2k^{p-1}+2p^2(p-k)^{p-1} \end{align*}

其中𝐶∈ℤ． 注意到𝑝^(3)∣(3𝑝)^(𝑝)=𝑥^(𝑝)+𝑦^(𝑝)，故

由费马小定理知5≡0(mod𝑝)，即𝑝=5．

最后只需证明不定方程𝑥^(5)+𝑦^(5)=15^(5)没有正整数解．（由费马大定理显然……）

注意到一个整数的5次方模11的余数为±1或0（为0当且仅当这个数是11的倍数），故𝑥，𝑦中必有一个数为11，不妨设𝑥=11，由𝑥+𝑦=5𝑝=25知，𝑦=14，而易知11^(5)+14^(5)≡1(mod3)，矛盾． 综上所述，原方程无正整数解．