每日一练
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数学竞赛每日一练 第1～24期合集
今天开始上暑假课了，暑假期间比较忙，所以每日一练先告一段落。以下为目前已发的题目及解答合集。数学竞赛每日一练 第1期 数学竞赛每日一练 第1期解答 分类：不等式 数学竞赛每日一练 第2期 数学竞赛每日一练 第2期解答 …
数学竞赛每日一练 第24期解答
设 n≥ 2，x_1，x_2，…，x_n 为 (0,1) 内的 n 个两两不等的实数．证明：Σ_(i=1)^nΣ_(j=1)^n{x_i-x_j}^2≥((n-1)(2n-1))/6 其中 {x}=x-[x] 表示 x …
数学竞赛每日一练 第23期解答
本题为2021年浙江省高考第10题的加强 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)=(a_n)/(1+√(a_n)) n^+，记数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，…
数学竞赛每日一练 第22期解答
2021.06「根源杯」初高数学衔接联考二试第四题。求两个互素指数下 5^m+7^m 与 5^n+7^n 的公约数——先证 a^d−b^d 形式的引理，答案是 2 或 12
数学竞赛每日一练 第21期解答
若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 y=x^3+ax 上，求实数 a 的值． 解答 若 a≥ 0，此曲线在 x> 0 时只位于第一象限．设 y 轴右侧正方形顶点为 A，B，…
数学竞赛每日一练 第20期解答
非零实数 a，b，c 满足 {a+b,b+c,c+a}={ab,bc,ca}． 求证：{a,b,c}={a^2-2,b^2-2,c^2-2}． 证明 设 f(x)= (x-a)(x-b)(x-c) = …
数学竞赛每日一练 第19期解答
设 a，b，c 是非零实数，求以下表达式的最小值：((a+3b)^2)/((a-b)^2)+((b+3c)^2)/((b-c)^2)+((c+3a)^2)/((c-a)^2)． 解答 设 x=(a+3b)/(a-b)，…
数学竞赛每日一练 第18期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_n=√((2n-1)/(4n^2+1))，前 n 项和为 S_n，求与 S_128-S_32 最接近的整数． 解答 易知 √((2n-1)/(4n^2+1))< √(1/(2n+1))< …
数学竞赛每日一练 第17期解答
题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克 另解见：李耀文——2021马其顿初中数学林匹克第5题解答 设 △ ABC 为锐角三角形，点 X 和 Y 分别在 AB 和 AC 上，…
数学竞赛每日一练 第24期
设 n≥ 2，x_1，x_2，…，x_n 为 (0,1) 内的 n 个两两不等的实数．证明：Σ_(i=1)^nΣ_(j=1)^n{x_i-x_j}^2≥((n-1)(2n-1))/6 其中 {x}=x-[x] 表示 x …
数学竞赛每日一练 第16期解答
a，b，c 为满足 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)=27/4 的正实数．求证：(a^3+b^2)/(a^2+b^2)+(b^3+c^2)/(b^2+c^2)+(c^3+a^2)/(c^2+a^2)≥5/2…
数学竞赛每日一练 第23期
题目来源：2021年浙江省高考第10题 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)=(a_n)/(1+√(a_n)) n^+，记数列 {a_n} 的前 n 项和为 S_n，求证：5/2< S_100< 3 ．
数学竞赛每日一练 第22期
若 m，n 为两个互素的正整数，求最大公约数 (5^m+7^m,5^n+7^n) 的所有可能值．
数学竞赛每日一练 第15期解答
p 是一个素数，证明：不定方程 x^p+y^p=(3p)^p 没有 xy≠ 0 的整数解． 证明 p=2 时，由枚举法知结论显然成立． p 为奇素数时，…
数学竞赛每日一练 第14期解答
已知正方形的四个顶点都在函数 y=f(x) 图象上，且函数 y=f(x) 图象上的点 (x,y) 都满足 (x^3-4x-y)^2021+x^2021+x^3-3x-y=0 则这样的正方形最多有＿＿＿个． 解答 设 …
数学竞赛每日一练 第21期
若有且只有一个正方形，其中心位于原点，且其四个顶点在曲线 y=x^3+ax 上，求实数 a 的值．
数学竞赛每日一练 第13期解答
2021年每日一练第13期（刘小平原创）。四边形 ABCD 中 AB=AD，CE 平分 ∠BCD，∠AFB=∠ABC、∠EAG=2∠BEC，求证 GF∥CE。解答取 P 使 CP=CB，用两次共圆把角度条件转成平行，再…
数学竞赛每日一练 第20期
非零实数 a，b，c 满足 {a+b,b+c,c+a}={ab,bc,ca}． 求证：{a,b,c}={a^2-2,b^2-2,c^2-2}．
数学竞赛每日一练 第19期
设 a，b，c 是非零实数，求以下表达式的最小值：((a+3b)^2)/((a-b)^2)+((b+3c)^2)/((b-c)^2)+((c+3a)^2)/((c-a)^2)．
数学竞赛每日一练 第12期解答
已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)={ x_n+n ,x_n≤ n x_n-n ,x_n>n . 求满足不等式 a_r< r≤ 3^2017 的正整数 r 的个数． 解答 由数列的定义可知 …
数学竞赛每日一练 第11期解答
证明：存在无穷多个互不相似的三角形 △_n，其边长 a_n，b_n，c_n 为正整数，且 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列． 证明 当 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列，…
数学竞赛每日一练 第18期
已知数列 {a_n} 满足 a_n=√((2n-1)/(4n^2+1))，前 n 项和为 S_n，求与 S_128-S_32 最接近的整数．
数学竞赛每日一练 第10期解答
设 n 是大于 1 的偶数，整数 1< a_1< a_2< …< a_k< n 满足 [a_i,a_j]>n 对所有 1≤ i≠ j≤ k 成立．证明 1/(a_1)+1/(a_2)+…+1/(a_k)< 3/2． …
数学竞赛每日一练 第17期
设 △ ABC 为锐角三角形，点 X 和 Y 分别在 AB 和 AC 上，满足 BX=CY ． I_B 和 I_C 分别为 △ ABY 和 △ ACX 的内心，…
数学竞赛每日一练 第9期解答
数列 {x_n} 满足 x_1=7/2，x_(n+1) = x_n(x_n-2) ．设 x_2021=a/b，其中 a,b ∈ N 且互素．求证：若 p 为 a 的一个素因子，…
数学竞赛每日一练 第16期
a 题目来源：2021年马其顿初中数学奥林匹克 a，b，c 为满足 1/(a^2)+1/(b^2)+1/(c^2)=27/4 …
数学竞赛每日一练 第15期
是一个素数，证明：不定方程没有的整数解．
数学竞赛每日一练 第8期解答
设 a_1,a_2,…,x_n，z_1,z_2,…,z_n，求证：|Σ_(k=1)^na_kz_k|^2≤1/2(Σ_(k=1)^na_k^2)·(Σ_(k=1)^n|z_k|^2+|Σ_(k=1)^nz_k^2|)． …
数学竞赛每日一练 第7期解答
定义函数 f:Z，∀ x,y 有 f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x+y)f(x-y)． 若 n> 0 则 f(n)> 0，并且 f(2015)· f(2016) 是完全平方数，…
数学竞赛每日一练 第6期解答
2021年马其顿数学奥林匹克。梯形中求证「EZ 与 ω 相切」与「BE 与三角形 BXY 的外接圆相切」互为充要条件——用有向角把两者一并归到弦切角定理
数学竞赛每日一练 第12期
题目来源：2017年全国高中数学联赛二试 已知数列 {a_n} 满足 a_1=1，a_(n+1)={ x_n+n ,x_n≤ n x_n-n ,x_n>n . 求满足不等式 a_r< r≤ 3^2017 的正整数 r …
数学竞赛每日一练 第5期解答
2021年浙江省女奥选拔试题。数列按 x 与 n 的大小关系在 x+n 与 x−n 之间递推，求所有使 x_n=0 的下标。原文只写「简解」，这里把两条断言补齐证明，零点恰为 (5·3^(k−1)−1)/2
数学竞赛每日一练 第11期
今天高考，所以发一道高考题吧。题目来源：2010年江西省高考理数第22题 证明：存在无穷多个互不相似的三角形 △_n，其边长 a_n，b_n，c_n 为正整数，且 a_n^2，b_n^2，c_n^2 成等差数列．
数学竞赛每日一练 第4期解答
给定一个正整数数 n ．求证：总能选取 n 的 φ(n)+1 个约数（可以相同），使得其和恰好为 n ．（这里 φ(n) 为小于 n 且和 n 互素的正整数个数．） 解答 给出两个定义：如果正整数 n 能表示成其 …
数学竞赛每日一练 第10期
题目来源：百子菁英计划青少年数学爱好者沙龙（20210502期）各阶段真题速览 S6第12题 设 n 是大于 1 的偶数，…
数学竞赛每日一练 第3期解答
求由 63 个不全相等的整数构成的可重集合，使得其中每一个数的平方等于其余所有数之和． 解答 设所求的 63 个整数为 x_1，x_2，…，…
数学竞赛每日一练 第2期解答
在 △ ABC 中，AB>AC，它的内切圆切边 BC 于点 E，连接 AE 交内切圆于点 D （不同于点 E ．在线段 AE 上取异于点 E 的一点 F，使得 CE=CF，连接 CF 并延长，…
数学竞赛每日一练 第9期
数列 (x_n)_(n=1)^(+∞) 满足 x_1=7/2，x_(n+1) = x_n(x_n-2) ．设 x_2021=a/b，其中 a,b ∈ N 且互素．求证：若 p 为 a 的一个素因子，…
数学竞赛每日一练 第8期
设 a_1,a_2,…,x_n，z_1,z_2,…,z_n，求证：|Σ_(k=1)^na_kz_k|^2≤1/2(Σ_(k=1)^na_k^2)·(Σ_(k=1)^n|z_k|^2+|Σ_(k=1)^nz_k^2|)．
数学竞赛每日一练 第1期解答
题目1 （2021土耳其TST）求所有的正整数 n，使得存在一组实数 x_1，x_2，…，x_n 满足，对任意 i=1,2,…,n，均有 i≤ x_i≤ 2i，…
