2021-06-10 系列：数学竞赛每日一练含解答

数学竞赛每日一练第7期解答

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 83 字公式 28 处

定义函数𝑓:ℤ→ℤ，∀𝑥,𝑦∈ℤ有

公式：f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x+y)f(x-y)．

若𝑛>0则𝑓(𝑛)>0，并且𝑓(2015)⋅𝑓(2016)是完全平方数，试求𝑓(1)+𝑓(2)的最小值．

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解答将方程中的𝑦替换为−𝑦有

公式：f(x^2-3y^2)+f(x^2+y^2)=2(x-y)f(x+y)

结合原方程有

公式：(x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y)

这表明𝑎≠𝑏，且2∣𝑎−𝑏时，有

(𝑓(𝑎))/(𝑎)=(𝑓(𝑏))/(𝑏)

于是存在常数𝛼=𝑓(1)∈ℤ_(+)，𝛽=𝑓(2)∈ℤ_(+)，使得

𝑓(𝑛)={𝑛⋅𝛼 ,2∤𝑛;(𝑛)/(2)⋅𝛽 ,2∣𝑛;

因此

公式：\begin{align*} &f(2015)\cdot f(2016)\\ =&2015\alpha\cdot 1008\beta\\ =&2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot31\alpha\beta \end{align*}

为完全平方数，故

𝛼𝛽=5⋅7⋅13⋅𝑡^(2),𝑡∈ℤ_(+)

容易证明当𝛼=5⋅31，𝛽=7⋅13，𝑡=1时，𝛼+𝛽取得最小值246．

且函数

公式：f(n)=\left\{ \begin{aligned} 91n&,2\nmid n\\ \dfrac{155}{2}n&,2\mid n\\ \end{aligned} \right.

满足𝑓(1)+𝑓(2)=246．

故𝑓(1)+𝑓(2)的最小值为246．

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