2021年马其顿初中数学奥林匹克

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2021年马其顿初中数学奥林匹克

1. 在今年的奥林匹克竞赛中，有一些学生是朋友（朋友关系是相互的），也有一些学生不是朋友．不论将这些学生怎样分到两个考场，总有两个朋友在不同的考场．令𝐴为一个固定的学生，求证：一定存在两个学生𝐵和𝐶，使得{𝐴,𝐵,𝐶}中恰好有两对朋友．
2. 设𝐴𝐵𝐶𝐷为一个圆外切四边形，其内切圆𝑘(𝑂,𝑟)与边𝐵𝐶、𝐴𝐷分别切于点𝐾、𝐿．求证：以𝑂𝐶为直径的圆过𝐾𝐿和𝑂𝐷的交点．
3. 求所有正整数𝑛和素数𝑝满足

   公式：17^n\cdot 2^{n^2}-p=\left(2^{n^2+3}+2^{n^2}-1\right)\cdot n^2\text{．}
4. 𝑎，𝑏，𝑐为满足(1)/(𝑎^(2))+(1)/(𝑏^(2))+(1)/(𝑐^(2))=(27)/(4)的正实数．求证：

   公式：\dfrac{a^3+b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3+c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3+a^2}{c^2+a^2}\geq\dfrac{5}{2}\text{．}
5. 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，点𝑋和𝑌分别在𝐴𝐵和𝐴𝐶上，满足𝐵𝑋=𝐶𝑌．𝐼_(𝐵)和𝐼_(𝐶)分别为△𝐴𝐵𝑌和△𝐴𝐶𝑋的内心，𝑇为△𝐴𝐵𝑌和△𝐴𝐶𝑋的外接圆的另一交点．求证：(𝑇𝐼_(𝐵))/(𝑇𝐼_(𝐶))=(𝐵𝑌)/(𝐶𝑋)．