2023年第四届北马其顿"亚历山大-布拉泽夫斯基-凯恩"纪念赛

高级组

第一天

1. 设𝑎,𝑏,𝑐,𝑑为整数．求证：对任意正整数𝑛，存在至少⌊(𝑛)/(4)⌋个正整数𝑚≤𝑛，使得公式：m^5 + dm^4 + cm^3 + bm^2 + 2023m + a不为完全平方数．

2. 设ℝ^(+)为正实数集．求所有函数𝑓:ℝ^(+)→ℝ^(+)，使得对于任意𝑥,𝑦>0，都有

   𝑓(𝑥𝑦+𝑓(𝑥))=𝑦𝑓(𝑥)+𝑥.

3. 设四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于圆𝜔，圆心为𝑂．直线𝐴𝐷和𝐵𝐶交于点𝐸，直线𝐴𝐵和𝐶𝐷交于点𝐹．点𝑃在线段𝐸𝐹上，且满足𝑂𝑃⊥𝐸𝐹．圆Γ_(1)过点𝐴和𝐸，且和𝜔切于点𝐴．圆Γ_(2)过点𝐶和𝐹，且和𝜔切于点𝐶．若Γ_(1)和Γ_(2)交于𝑋,𝑌两点，求证：𝑃𝑂平分∠𝑋𝑃𝑌．

第二天

4. 圆内接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷满足𝐴𝐵=𝐴𝐷+𝐵𝐶，𝐶𝐷<𝐴𝐵．对角线𝐴𝐶和𝐵𝐷交于点𝑃，直线𝐴𝐷和𝐵𝐶交于点𝑄．∠𝐴𝑃𝐵的角平分线和𝐴𝐵交于点𝑇．求证：△𝐶𝑇𝐷的外心在△𝐶𝑄𝐷的外接圆上．

5. 学校里有1000名学生，每个学生恰好有4个朋友．称由三个学生组成的集合{𝐴,𝐵,𝐶}为“友好三元集”，如果集合中任意两人均是朋友．求友好三元集个数的最大可能值．

6. 记ℕ_(+)为正整数集．求所有函数𝑓：ℕ_(+)→ℕ_(+)，使得：

• 对任意正整数𝑎>2023^(2023)，都有𝑓(𝑎)≤𝑎．
• 对任意𝑎,𝑏∈ℕ_(+)，公式：\dfrac{a^2f(b)+b^2f(a)}{f(a)+f(b)}均为正整数．

初级组

第一天

1. 给定正整数𝑛和平面上一点𝑂，作𝑛条过点𝑂的直线．求𝑘的最大值（依赖于𝑛），使得总能将𝑛条直线中的𝑘条染为红色，满足任意两条红色的线均不垂直．

2. 同高级组第1题

3. 同高级组第2题

第二天

4. 不定方程

   𝑧(𝑦−𝑥)(𝑥+𝑦)=𝑥^(3)

   是否有有限多组正整数解．

5. 同高级组第4题

6. 同高级组第5题