2022年土耳其数学奥林匹克（第二轮）

第一天

1. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑀为𝐵𝐶边的中点，∠𝐵𝐴𝐶的角平分线和边𝐵𝐶、圆(𝐴𝐵𝐶)分别交于点𝐾、𝐿．如果以𝐵𝐶为直径的圆与∠𝐵𝐴𝐶的外角平分线相切，求证：以𝐵𝐶为直径的圆也和圆(𝐾𝐿𝑀)相切．

2. 对正整数𝑘和𝑛，已知𝑘≥𝑛!．求证：𝜑(𝑘)≥(𝑛−1)!．

3. 非负实数𝑎_(1),𝑎_(2),⋯,𝑎_(2022)满足𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(2022)=1．求满足𝑎2𝑖+𝑎_(𝑗)≥(1)/(2021)的有序数对(𝑖,𝑗)，1≤𝑖,𝑗≤2022的个数的最大值．

第二天

4. 对怎样的实数𝑎，存在两两不同的实数𝑥,𝑦,𝑧，满足
   公式：\dfrac{x^3+a}{y+z}=\dfrac{y^3+a}{z+x}=\dfrac{z^3+a}{x+y}=-3

5. 在△𝐴𝐵𝐶中，90^(∘)>∠𝐴>∠𝐵>∠𝐶．设𝑂和𝐻分别为三角形的外心和垂心．直线𝑂𝐻和𝐵𝐶交于点𝑇，△𝐴𝐻𝑂的外心为点𝑋．求证：点𝐻关于直线𝑋𝑇的对称点在△𝐴𝐵𝐶的外接圆上．

6. 一所拥有2022个学生的学校，在一个假期内每天都会组织一次博物馆之旅或自然之旅．没有学生两次参加同一类型的旅行，而且每次参加旅行的学生人数都不同．若没有两个学生同时参加相同的两次旅行，求旅行总次数的最大值．