代数 2026-05-13 系列：一分钟做不等式含解答

一分钟做不等式系列（15）——2026年土耳其EGMO TST

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 72 字公式 16 处

下班前看到初中竞赛题选讲第八百五十八题，随手写一下。

题目：设 0≤𝑥_(1),𝑥_(2),…,𝑥_(1001)≤1为实数．求

𝑆=∑_(𝑖=1)^(1001)𝑥_(𝑖)−∑_(𝑖=1)^(1001)𝑥_(𝑖)𝑥_(𝑖+1)−∑_(𝑖=1)^(1001)𝑥_(𝑖)𝑥_(𝑖+2)

的最大可能值，其中𝑥_(1002)=𝑥_(1),𝑥_(1003)=𝑥_(2)．

展开解答收起解答

答案：333．

构造：𝑥_(3)=𝑥_(6)=⋯=𝑥_(999)=1，其余为0．

证明：

𝑆=∑_(𝑖=1)^(1001)𝑥_(𝑖)(1−𝑥_(𝑖+1)−𝑥_(𝑖+2))关于每个 𝑥_(𝑖)线性，故只需考虑𝑥_(𝑖)∈{0,1}的情形．

令 𝑦_(𝑖)=𝑥_(𝑖)(1−𝑥_(𝑖+1)−𝑥_(𝑖+2))，则

𝑦_(𝑖)=⎧⎩⎨⎪⎪1, 𝑥_(𝑖)=1,𝑥_(𝑖+1)=𝑥_(𝑖+2)=0;−1, 𝑥_(𝑖)=1,𝑥_(𝑖+1)=𝑥_(𝑖+2)=1;0, else;

若 𝑦_(𝑘)=1，则 𝑥_(𝑘+1)=𝑥_(𝑘+2)=0，故 𝑦_(𝑘+1)=𝑦_(𝑘+2)=0，因此

𝑦_(𝑖)+𝑦_(𝑖+1)+𝑦_(𝑖+2)≤1,∀1≤𝑖≤1001

求和得3𝑆=3∑_(𝑖=1)^(1001)𝑦_(𝑖)≤1001⟹𝑆≤⌊(1001)/(3)⌋=333．

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