来自菲尔兹奖得主邓煜的一道不等式：2023年CTST P11的期望证法

题目：（2023年CTST P11，邓煜）

设 𝑛是正整数，且𝑎_(𝑖𝑗𝑘)∈{−1,1}(1≤𝑖,𝑗,𝑘≤𝑛)．求证：存在𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛),𝑦_(1),⋯,𝑦_(𝑛),𝑧_(1),⋯,𝑧_(𝑛)∈{−1,1}，使得

我们先证明一个二维情形的引理：

任取𝑏_(𝑖𝑗)∈{−1,1}（1≤𝑖,𝑗≤𝑛）．设 𝑋_(1),⋯,𝑋_(𝑛),𝑌_(1),⋯,𝑌_(𝑛)是相互独立且等概率取±1的随机变量，并令𝑆=∑_(𝑖,𝑗=1)^(𝑛)𝑏_(𝑖𝑗)𝑋_(𝑖)𝑌_(𝑗)．则

𝔼|𝑆|≥(𝑛^(2))/(3𝑛−2)>(𝑛)/(3).

引理的证明：

由于所有随机变量相互独立，且均值为0，展开𝑆^(2)后，只有平方项的期望非零．因此

固定 𝑋_(1),⋯,𝑋_(𝑛)，并记

此时 𝑆=∑_(𝑗=1)^(𝑛)𝑐_(𝑗)𝑌_(𝑗)．对 𝑌_(1),⋯,𝑌_(𝑛)取条件期望，由于只有每个 𝑌_(𝑗)均出现偶数次的项可能有非零期望，故

对每个固定的 𝑗，随机变量𝑐_(𝑗)=∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑏_(𝑖𝑗)𝑋_(𝑖)是𝑛个相互独立的随机符号之和．展开 𝑐4𝑗后，非零期望项只有两类：

• 四个指标全相同；
• 两个不同指标各出现两次．

于是

另一方面，对 1≤𝑖<𝑝≤𝑛，定义𝑟_(𝑖𝑝)=∑_(𝑗=1)^(𝑛)𝑏_(𝑖𝑗)𝑏_(𝑝𝑗)．由 𝑏2𝑖𝑗=1，有

若无序对 {𝑖,𝑝}≠{𝑢,𝑣}，则𝔼_(𝑋)(𝑋_(𝑖)𝑋_(𝑝)𝑋_(𝑢)𝑋_(𝑣))=0；除此之外，𝔼_(𝑋)(𝑋_(𝑖)𝑋_(𝑝))=0．

因此，将上式平方并取期望可得

由于每个 𝑟_(𝑖𝑝)是 𝑛个 ±1之和，故|𝑟_(𝑖𝑝)|≤𝑛，从而

对(1)再关于𝑋_(1),⋯,𝑋_(𝑛)取期望，得

最后，由Hölder不等式，

可得

引理得证．

回到原题．

仍取相互独立且等概率取 ±1的随机变量𝑋_(1),⋯,𝑋_(𝑛),𝑌_(1),⋯,𝑌_(𝑛)，并对每个𝑘∈{1,⋯,𝑛}，定义

对每个固定的 𝑘，将引理应用于(𝑎_(𝑖𝑗𝑘))_(1≤𝑖,𝑗≤𝑛)，得到

故由期望的线性性，

因此，存在一组确定的

使得令𝑇_(𝑘)=∑_(𝑖,𝑗=1)^(𝑛)𝑎_(𝑖𝑗𝑘)𝑥_(𝑖)𝑦_(𝑗)时，有

最后，对每个 𝑘，取

于是𝑧_(𝑘)𝑇_(𝑘)=|𝑇_(𝑘)|，从而

命题得证．