几何 2026-07-23

用向量法证明一个“七心连珠”结论

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

公式 39 处5 图

本问题是我在中学时代参加外培时首次听到，时隔多年，只记得这个美妙的结论（其实现在来看是比较平凡的）与“七心连珠”这个名字了．昨天上课时突然想起，用向量法给学生讲了一个简单的证明．

“七心连珠”问题叙述

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷,𝐸分别在边𝐴𝐵,𝐴𝐶上，且满足𝐵𝐷=𝐶𝐸．设 △𝐴𝐵𝐶与 △𝐴𝐷𝐸的内心、外心、重心、垂心、九点圆圆心、Spieker 点、Nagel 点依次记为

𝐼_(𝑖), 𝑂_(𝑖), 𝐺_(𝑖), 𝐻_(𝑖), 𝑄_(𝑖), 𝑆_(𝑖), 𝑇_(𝑖)(𝑖=1,2).

则七组对应点的连线彼此平行，且都平行于 ∠𝐴的内角平分线．

熟知欧拉线上的 𝑂_(𝑖),𝐺_(𝑖),𝑄_(𝑖),𝐻_(𝑖)与第二欧拉线（Nagel 线）上的 𝐼_(𝑖),𝐺_(𝑖),𝑆_(𝑖),𝑇_(𝑖)分别共线，且相应分点比固定（留给读者自行证明）．故只需证明外心、内心、重心三组对应连线平行．

令 𝑀_(1),𝑀_(2)分别为 𝐵𝐶,𝐷𝐸的中点．重心把中线按 2:1分点，故

(𝐴𝐺_(1))/(𝐴𝑀_(1))=(𝐴𝐺_(2))/(𝐴𝑀_(2))=(2)/(3).

以 𝐴为中心、比例 2/3的同一位似把 𝑀_(1),𝑀_(2)分别变为 𝐺_(1),𝐺_(2)，所以

𝐺_(1)𝐺_(2)∥𝑀_(1)𝑀_(2).;(1)

设 𝐴𝐵=𝑐, 𝐴𝐶=𝑏, 𝐵𝐷=𝐶𝐸=𝑡，并以 𝒖,𝒗表示沿 𝐴𝐵,𝐴𝐶的单位向量．则

𝑀_(2)𝑀_(1)^(→−)=(1)/(2)[𝑐𝒖+𝑏𝒗−(𝑐−𝑡)𝒖−(𝑏−𝑡)𝒗]=(𝑡)/(2)(𝒖+𝒗).

因 |𝒖|=|𝒗|=1，𝒖+𝒗指向 ∠𝐴的内角平分线，故

𝑀_(1)𝑀_(2)∥𝐺_(1)𝐺_(2)∥ℓ_(𝐴).;(2)

又 𝐼_(1),𝐼_(2)∈ℓ_(𝐴)，所以

𝐼_(1)𝐼_(2)⊂ℓ_(𝐴).;(3)

以 𝐴为原点，令

𝒑=𝐴𝑂_(1)^(→−),𝒒=𝐴𝑂_(2)^(→−),𝒘=𝑂_(2)𝑂_(1)^(→−)=𝒑−𝒒.

由外心到顶点等距，

𝒑⋅𝒖=(𝑐)/(2),𝒑⋅𝒗=(𝑏)/(2),𝒒⋅𝒖=(𝑐−𝑡)/(2),𝒒⋅𝒗=(𝑏−𝑡)/(2).

故

𝒘⋅(𝒖−𝒗)=0.

又

(𝒖+𝒗)⋅(𝒖−𝒗)=0,

于是

𝑂_(1)𝑂_(2)∥𝒖+𝒗∥ℓ_(𝐴).;(4)

由 (1)–(4)，

𝑂_(1)𝑂_(2)∥𝐼_(1)𝐼_(2)∥𝐺_(1)𝐺_(2)∥ℓ_(𝐴).

再利用欧拉线与 Nagel 线上的固定分点关系，其余四组对应连线也继承同一方向．因此

𝐼_(1)𝐼_(2)∥𝑂_(1)𝑂_(2)∥𝐺_(1)𝐺_(2)∥𝐻_(1)𝐻_(2)∥𝑄_(1)𝑄_(2)∥𝑆_(1)𝑆_(2)∥𝑇_(1)𝑇_(2)∥ℓ_(𝐴).

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