几何 2025-06-26 含解答

用向量法证明近期两道平面几何二试模拟题

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 136 字公式 97 处2 图

题目1：

在△ABC中，点D,E,F分别在BC,CA,AB上，满足(BD)/(DC)=(AC)/(AB)，且BE=CF，E,F在BC的同侧．M为线段BC的中点，N为线段EF的中点，G为BF与CE的交点．求证：MN∥DG．

证明：

设△ABC的三边长为a,b,c，面积为S，BE=CF=t．则

(GB)/(BF)= ([BCE])/([BCE]+[CFE]);= ((t)/(c)⋅S)/((t)/(c)⋅S+(t)/(b)⋅(c−t)/(c)⋅S);= (b)/(b+c−t);

同理(GC)/(CE)=(c)/(b+c−t)．

由(BD)/(DC)=(AC)/(AB)=(b)/(c)知：

GD^(→−)= (CD)/(BC)⋅GB^(→−)+(BD)/(DC)⋅GC^(→−);= (c)/(b+c)⋅(GB)/(BF)⋅FB^(→−)+(b)/(b+c)⋅(GC)/(CE)⋅EC^(→−);= (bc)/((b+c)(b+c−t))(FB^(→−)+EC^(→−));

而

FB^(→−)+EC^(→−);= (FM^(→−)+MN^(→−)+NB^(→−))+(EM^(→−)+MN^(→−)+NC^(→−));= 2MN^(→−);

故GD∥MN，证毕．

注：

可以得到GD,MN均平行于∠BAC的内角平分线．

题目2:

如图，在锐角△ABC中，A在BC上的投影为H．△ABC内两点F,E满足∠ABF=∠CBE=∠BCF=∠ACE．设BF,CE交于点D，已知A,E,D,F四点共圆，求证：DH⊥EF．

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证明：

E,F为△ABC的一对等角共轭点，故∠BAF=∠CAE，又∠ABF=∠ACE，从∠ABF=∠ACE，结合A,E,D,F四点共圆知：

∠AED=∠AFD=90^(∘)=∠AHB=∠AHC

于是A,B,H,F；A,C,H,E分别共圆，有

∠AHF=∠ABF=∠ACE=∠AHE，于是△BHE∼△CHF．

DH⊥EF;⟺ DH^(→−)⋅EF^(→−)=0;⟺ ((CH)/(BC)⋅DB^(→−)+(BH)/(BC)⋅DC^(→−))⋅(EF^(→−)+AF^(→−))=0;⟺ CH⋅DB^(→−)⋅AE^(→−)=BH⋅DC^(→−)⋅AF^(→−);⟺ CH⋅(DC^(→−)+CB^(→−))⋅AE^(→−)=BH⋅(DB^(→−)+BC^(→−))⋅AF^(→−);⟺ CH⋅CB^(→−)⋅AE^(→−)=BH⋅BC^(→−)⋅AF^(→−);⟺ CH⋅BC⋅AE⋅sin⁡∠EAH=BH⋅BC⋅AF⋅sin⁡∠FAH;⟺ CH⋅EH⋅sin⁡∠AHE=BH⋅FH⋅sin⁡∠AHF;

由△BHE∼△CHF即证．

预赛与联考平面几何线性代数解题研究

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