高考强基 2025-07-02 含解答

用线性幂差引理解2025年清华强基立体几何题

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 135 字公式 55 处1 图

题目：

正三棱锥S−ABC中，底边长为4，SA,SB,SC的中点分别为A^(′),B^(′),C^(′)，A^(′)B^(′)的中点为D，三棱锥S−ABC^(′)的外接球球心为O，OC^(2)−OD^(2)=AB^(2)．则三棱锥S−ABC的体积为_________．

分析：

只需求建立等量关系，求出侧棱长即可．

核心条件为OC^(2)−OD^(2)=AB^(2)=16，注意O是球心，这使我们想到球幂定理，而结合D为A^(′)B^(′)中点，可以考虑使用线性幂差引理（易证对球也成立）．

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解答：

记ρ_(1)(X),ρ_(2)(X)分别为点X对球O和点球S的球幂，则f(X)=ρ_(1)(X)−ρ_(2)(X)关于X是线性的．

设SA=2x，球O的半径为R，则

ρ_(1)(C)−ρ_(1)(D)=OC^(2)−OD^(2)=16

ρ_(1)(C)=CC^(′)⋅CS=2x^(2)

f(D)= (1)/(2)(f(A^(′))+f(B^(′)));= (1)/(2)f(S)+(1)/(4)f(A)+(1)/(4)f(B);= 0+(0−4x^(2))/(4)+(0−4x^(2))/(4);= −2x^(2);

即

ρ_(1)(D)= DS^(2)−2x^(2);= (x^(2)−1^(2))−2x^(2);= −x^(2)−1;

于是2x^(2)−(−x^(2)−1)=16，即x^(2)=5．

V_(S−ABC)=(√(3))/(12)⋅4^(2)⋅√(20−(1)/(3)⋅4^(2))=(8√(11))/(3)

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