2025年德国数学奥林匹克

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1. 第一天第 1 题　求方程组的实数解：$\begin{cases}\dfrac{a}{c}=b-\sqrt{b}+c,\\[2mm]\sqrt{\dfrac{a}{c}}=\sqrt{b}+1,\\[2mm]\sqrt[4]{\dfrac{a}{c}}=\sqrt[3]{b}-1.\end{cases}$
2. 第一天第 2 题　一个小组有 12 个孩子，他们正在组织 12 个项目，这些项目只有该小组的孩子参与，且没有两个项目的参与名单完全相同。现从小组中选出一个孩子，负责记录所有活动，为此，这个孩子还将参与到那些原本没有参与的项目中。证明：总能找到这样一个孩子，使得即便在这个孩子参与了所有 12 个项目之后，仍然没有两个项目的参与名单是相同的。
3. 第一天第 3 题　在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 和 $BE$ 为两条高，$H$ 为垂心。直线 $DE$ 和 $\triangle ABC$ 的外接圆交于 $P,Q$ 两点（$P$ 在弧 $BC$ 上，$Q$ 在弧 $CA$ 上），$AQ$ 和 $BE$ 交于点 $S$。求证：$\odot(BPE)$、$\odot(QHS)$ 和直线 $PH$ 过同一点 $L$。
4. 第二天第 4 题　设 $a,b,c>0$，求证：$\frac{a^5}{b^2}+\frac{b}{c}+\frac{c^3}{a^2}>2a$。
5. 第二天第 5 题　正方体 $w_2$ 完全包含在另一个正方体 $w_1$ 内部。有人声称：“若 $w_1$ 的每个面上都至少有一个 $w_2$ 的顶点，则 $w_1$ 的每个顶点也必定是 $w_2$ 的顶点。”请判断这一说法是否正确。
6. 第二天第 6 题　求所有正整数 $n$，使得 $3^n+61$ 为完全平方数。