2023年德国数学奥林匹克

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\begin{document}
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\section*{2023年德国数学奥林匹克}
\flushright 程国根\quad 译
\section*{第一天}
\ex 求所有整数对$(m,n)$，$n\ge m$，使得$$n^3+m^3-nm(n+m)=2023.$$
\vfill
\ex 将一个三角形的每条边双向延长与该边相同的长度，得到六个新的点．求证：这六个点所围成的六边形面积至少为原三角形面积的$13$倍．
\vfill
\ex 在一次比赛中，学校想提名一个由$k$名学生组成的团队，其中$k$是一个给定的正整数．团队的每个成员必须参加杂耍、唱歌和心算三个项目的比赛．为了获得入队资格，该校的$n\ge 2$名学生参加了资格赛，并确定了三个项目中每个项目的唯一排名．现在学校想提名一个满足以下条件的团队：

$(*)$如果一个学生$X$没有被提名入队，那么队里存在一个学生$Y$在至少两个项目上击败了$X$．

求所有的正整数$n\ge 2$，使得对于任何的排名组合，都可以选择一个团队来满足条件$(*)$，当(a)$k=2$时；(b)$k=3$时．

\vfill
\section*{第二天}
\ex 求所有三元实数组$(a,b,c)$，使得$$a+\frac{4}{b}=b+\frac{4}{c}=c+\frac{4}{a}.$$
\vfill
\ex 在锐角$\triangle ABC$中，$AA'$和$BB'$为两条高，$H$为垂心，$C_{0}$为$AB$的中点．设$CC_{0}$关于$\angle ACB$的角平分线的对称直线为$g$，$HC_{0}$关于$\angle AHB$的角平分线的对称直线为$h$．求证：$g$和$h$的交点在直线$A'B'$上．
\vfill
\ex 已知方程$x^{3}-3x^{2}+1=0$有三个实数根$x_{1}<x_{2}<x_{3}$．求证：对任意正整数$n$，$\lceil x_{3}^{n}\rceil$均为$3$的倍数．
\vfill
\end{document}