2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮）

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\section*{2023年伊朗数学奥林匹克（第二轮）}

\begin{flushright}
程国根\quad 译
\end{flushright}

\section*{第一天}

{\bf 1.}在直角$\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，点$P$为一个定点，过$P$作$PD\perp BC$交$BC$于点$D$．设$PD$和$AB$、$AC$的交点分别为$E$、$F$．$\triangle APE$的外接圆再次交$BP$于点$X$，$\triangle APF$的外接圆再次交$CP$于点$Y$．求证：$CX$，$BY$，$PD$三线共点．
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{\bf 2.}求证：对任意正整数$n\ge 2$，存在两两互质且均不小于$1402$的正整数$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，满足$$[\frac{a_1}{a_2}]+[\frac{a_2}{a_3}]+\cdots+[\frac{a_n}{a_1}] = [\frac{a_2}{a_1}]+[\frac{a_3}{a_2}]+\cdots+[\frac{a_1}{a_n}].$$
\vfill

{\bf 3.}对一个$n\times n$的方格表按如下规则进行染色：若$i=j$，则将方格$(i,j)$染为黑色；若$i<j$，则将方格$(i,j)$染为红色；若$i>j$，则将方格$(i,j)$染为绿色．设$a_{i,j}$为方格$(i,j)$的颜色．在每一次操作中，交换两列方格，并记录下$n$元有序组$(a_{1,1},a_{2,2},\cdots,a_{n,n})$．重复进行操作，最多能得到多少个不同的$n$元有序组？
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\section*{第二天}
{\bf 4.}给定正整数$n$．求最小的正整数$k$，使得能在$3\times k$的方格表中填入自然数，满足：
\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
\item 每一列的三个数字之和为$n$；
\item $0,1,\cdots,n$中的每个数字至少出现一次．
\end{enumerate}
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{\bf 5.}设$P$、$Q$为整系数首一多项式，且不存在公共的整数根．$\{P_{n}\}_{n\in\mathbb{N_{+}}}$满足：$P_{1}=P$，且对任意正整数$n$，$P_{n+1}=P_{n}+Q$．已知$\{P_{n}\}$中的每一项均至少存在一个整数根．求证：(1)$Q(x)$整除$P(x)$；(2)$\deg\dfrac{P(x)}{Q(x)}=1$．
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{\bf 6.}等圆$W_{1}$和$W_{2}$交于$P$、$Q$两点．在$W_{1}$上取点$B$，使$B$在$W_{2}$内部，在$W_{2}$上取点$C$，使$C$在$W_{1}$内部．点$X$、$Y$（异于$P$）分别在$W_{1}$、$W_{2}$上，满足$\angle BPQ=\angle BYQ$，$\angle CPQ=\angle CXQ$．记$\odot(YPB)$和$\odot(XPC)$再次交于点$S$．求证：$BC$、$XY$、$QS$三线共点．
\vfill
\end{spacing}
\end{document}