两道高联模拟卷中的离散不等式解答
正文文字 308 字公式 61 处
以下两题分别出自最近的爱尖子和猿辅导高联模拟，两题难度都不大，且风格相似，这里一起写个解答．
已知a_(1),a_(2),⋯,a_(10)为整数，且满足∑_(k=1)^(10)ka_(k)=2023，求∑_(k=1)^(10)ka2k的最小值．
分析：
主要在于猜取等条件．
由拉格朗日恒等式：
公式：\begin{aligned}
&\left(\sum_{k=1}^{10}k\right)\cdot\left(\sum_{k=1}^{10}ka_k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^{10}ka_k\right)^2\\
=&\sum_{1\le i< j\le 10}\left(\sqrt{i}a_i\cdot\sqrt{j}-\sqrt{j}a_j\cdot\sqrt{i}\right)^2\\
=&\sum_{1\le i< j\le 10}ij(a_i-a_j)^2
\end{aligned}故要使∑_(k=1)^(10)ka2k尽可能小，需要∑_(1≤i<j≤10)ij(a_(i)−a_(j))^(2)尽可能小．
首先考虑所有a_(k)全部相等，均为a，此时有55a=2023，与a是整数矛盾．
其次考虑a_(k)共有两种取值，且差为0或1，由[(2023)/(55)]=36知a_(k)∈{36,37}．
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答案：
最小值为74419．
构造：
a_(k)∈{36,37}，且满足a_(k)=37所有下标k之和为12，如a_(2)=a_(10)=37，a_(1)=a_(3)=a_(4)=⋯=a_(9)=36．
证明：
由a_(k)为正整数知a_(k)≤36或a_(k)≥37，于是(a_(k)−36)(a_(k)−37)≥0，即a2k≥73a_(k)−1332，因此
对k从1到10求和得：
公式：\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{10}ka_k^2\ge&73\sum_{k=1}^{10}ka_k-1332\sum_{k=1}^{10}k\\
=&73\times 2023-1332\times 55\\
=&74419
\end{aligned}设x_(1),x_(2),⋯,x_(20)∈N^(∗)满足x_(1)+x_(2)+⋯+x_(20)=2023．记
公式：S_k=x_1x_{k+1}+x_2x_{k+2}+\cdots+x_{20}x_{k+20}.
若S_(1)≥S_(2)≥⋯≥S_(9)≥S_(10)．求S_(9)的最小值与最大值．
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分析：
最小值和上题处理类似，最大值则需要注意到
公式：S_0+2S_1+\cdots+2S_9+S_{10}=\left(\sum_{k=1}^{20}x_k\right)^2
再利用S_(1)≥S_(2)≥⋯≥S_(10)进行放缩．
(事实上，只需用到S_(1),S_(2),⋯,S_(8)≥S_(9))
答案：
最小值为4026，最大值为204626．
构造：
当
公式：(x_1,x_2,\cdots,x_{20})=(2004,1,\cdots,1)或其轮换时，S_(9)取得最小值．
当
公式：(x_1,x_2,\cdots,x_{20})=(102,102,102,101,\cdots,101)或其轮换时，S_(9)取得最大值．
证明：
由(x_(k)−1)(x_(k+9)−1)≥0知
对k从1到20求和得：
公式：S_9=\sum_{k=1}^{20}x_kx_{k+9}\ge 2\sum_{k=1}^{20}x_k-20=4026
由
公式：\begin{aligned}
&S_0+2S_1+2S_2+\cdots+2S_9+S_{10}\\
=&\left(\sum_{k=1}^{20}x_k\right)^2=2023^2
\end{aligned}及S_(1)≥S_(2)≥⋯≥S_(9)知：
公式：\begin{aligned}
&18S_9\le 2(S_1+\cdots+S_9)\\
=&2023^2-(S_0+S_{10})
\end{aligned}而
公式：\begin{aligned}
&S_0+S_{10}\\
=&\sum_{k=1}^{20}x_k^2+\sum_{k=1}^{20}x_kx_{k+10}\\
=&\sum_{k=1}^{20}x_k^2+2\sum_{k=1}^{10}x_kx_{k+10}\\
=&\sum_{k=1}^{10}\left(x_k+x_{k+10}\right)^2\\
\ge&\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{10}(x_k+x_{k+10})\right)^2\\
=&\frac{2023^2}{10}
\end{aligned}（注：此处也可以利用
公式：(x_k+x_{k+10}-202)(x_k+x_{k+1}-203)\ge 0求和得到
公式：\sum\limits_{k=1}^{10}(x_k+x_{k+10})^2\ge 409255，但我觉得本题直接用柯西放缩，再利用整数离散性更自然，不需要提前猜答案）
于是
公式：S_9\le \dfrac{2023^2-\dfrac{2023^2}{10}}{18}< 204627
由S_(9)∈Z知，S_(9)≤204626．
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