2023年俄罗斯数学奥林匹克不等式的解答

2023年俄罗斯数学奥林匹克十年级组第八题如下：

给定实数a∈(0,1)．今知正数x_(0),x_(1),⋯,x_(n)满足条件x_(0)+x_(1)+⋯+x_(n)=n+a和(1)/(x_(0))+(1)/(x_(1))+⋯+(1)/(x_(n))=n+(1)/(a)．试求表达式x20+x21+⋯+x2n的最小可能值．

本题和基于柯西不等式的一种代换方法一文中的不等式十分相似．事实上，本题可以用几乎一样的方法进行处理，即先用柯西不等式确定每个变量的范围，然后使用局部不等式即可．

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答案：

最小值为n+a^(2)，当且仅当(a_(0),a_(1),⋯,a_(n))=(a,1,1,⋯,1)或其轮换时，等号成立．

证明：

由条件知：

∑_(i=1)^(n)a_(i)=n+a−a_(0)

∑_(i=1)^(n)(1)/(a_(i))=n+(1)/(a)−(1)/(a_(0))

由柯西不等式知：

公式：\begin{aligned} &\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)\ge n^2\\ \iff&(n+a-a_0)\left(n+\frac{1}{a}-\frac{1}{a_0}\right)\ge n^2\\ \iff&\frac{na+1}{aa_0}(a_0-a)\left(a_0-\frac{n+a}{na+1}\right)\le 0 \end{aligned}

由(na+1)−(n+a)=(n−1)(a−1)≤0知(n+a)/(na+1)≥1>a，于是

a≤a_(0)≤(n+a)/(na+1)

同理，对任意0≤i≤n，都有

a≤a_(i)≤(n+a)/(na+1)

因此

公式：\begin{aligned} &(a_i-a)(a_i-1)^2\ge 0\\ \iff&a_i^3-(a+2)a_i^2+(2a+1)a_i-a\ge 0\\ \iff&a_i^2\ge (a+2)a_i-(2a+1)+\dfrac{a}{a_i} \end{aligned}

对上式从0到n求和得：

公式：\begin{aligned} &\sum_{i=0}^na_i^2\\ \ge& (a+2)\sum_{i=0}^na_i-(2a+1)(n+1)+a\sum_{i=0}^n\frac{1}{a_i}\\ =&(a+2)(n+a)-(2a+1)(n+1)+a\left(n+\frac{1}{a}\right)\\ =&n+a^2 \end{aligned}

证毕．