基于柯西不等式的一种代换方法

分析：

把𝑥_(1)和𝑥21移到等式右边，对∑_(𝑖=2)^(𝑛)𝑥_(𝑖)和∑_(𝑖=2)^(𝑛)𝑥2𝑖使用柯西不等式即可．

同理可得到𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)的范围．

现在我们知道，对和与平方和确定的一组数(𝑥_(1),𝑥_(2),⋯,𝑥_(𝑛))，我们可以求出其中每一个数的范围，由此进一步地去分析不等式．

很多时候要证明的不等式并不会给出∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)和∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥2𝑖的值，此时我们往往可以利用齐次性，设∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)=𝑛，再由

公式：\dfrac{1}{n}\left (\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2\le\sum\limits_{i=1}^nx_i^2< \left(\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)^2

得到𝑛≤∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥2𝑖<𝑛^(2)．

下面我们考虑：怎样设∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥2𝑖的值，能起到简化问题的作用．

一个自然的想法是，让题目1中的Δ是个完全平方式，当然同时还要满足𝑛≤∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥2𝑖<𝑛^(2)这一条件．

公式：\begin{aligned} \Delta=&4a^2-4n(a^2-(n-1)b)\\ =&4n^2-4n(n^2-(n-1)b)\\ =&4n^2(n-1)\left(\dfrac{b}{n}-1\right) \end{aligned}

为满足要求，可设(𝑏)/(𝑛)−1=(𝑛−1)𝑡^(2)，即𝑏=𝑛+𝑛(𝑛−1)𝑡^(2)，再由𝑛≤𝑏<𝑛^(2)可得𝑡∈[0,1)，这是一个非常好的范围．

此时，Δ=(2𝑛(𝑛−1)𝑡)^(2)，代入题目1可得

方法总结：

对出现了∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)和∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥2𝑖的齐次不等式（要求𝑥_(𝑖)>0），可不妨设∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥_(𝑖)=𝑛，并设∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥2𝑖=𝑛+𝑛(𝑛−1)𝑡^(2)，其中𝑡∈[0,1)．

由此可得，对∀1≤𝑖≤𝑛，有

下面我们用这个代换方法来解决一道不等式：

证明：

由齐次性不妨设𝑆=𝑛，设∑_(𝑖=1)^(𝑛)𝑥2𝑖=𝑛+𝑛(𝑛−1)𝑡^(2)，其中𝑡∈[0,1)．

由此可得，对∀1≤𝑖≤𝑛，有

原不等式等价于

公式：\begin{aligned} &(n+n(n-1)t^2)\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}+n^2(n-2)\le n\left(n\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}-n\right)\\ \iff&n(n-1)(1-t^2)\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\ge n^2(n-1)\\ \iff&\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\ge\frac{n}{1-t^2} \end{aligned}

（此时，问题转变成了求∑_(𝑖=1)^(𝑛)(1)/(𝑥_(𝑖))的最小值（和𝑡有关），由于每个𝑥_(𝑖)都有范围限制，猜测最小值在某个𝑥_(𝑖)为端点值时取得。事实上，这和不等式中的EV定理有关，这里不展开说明）

注意到𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)中，一个取得1+(𝑛−1)𝑡时，题目1证明过程中的柯西不等式恰好取得等号，于是另外𝑛−1个数的值相等，均为1−𝑡．由此构造局部不等式：

公式：\begin{aligned} &(1+(n-1)t-x_i)(1-t-x_i)^2\ge 0\\ \iff&x_i^3-(3+(n-3)t)x_i^2+(1-t)(3+(2n-3)t)x_i-(1-t)^2(1+(n-1)t)\le 0\\ \iff&\frac{(1-t)^2(1+(n-1)t)}{x_i}\ge x_i^2-(3+(n-3)t)x_i+(1-t)(3+(2n-3)t) \end{aligned}

求和得：

公式：\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\frac{(1-t)^2(1+(n-1)t)}{x_i}\\ \ge&\sum_{i=1}^n\left(x_i^2-(3+(n-3)t)x_i+(1-t)(3+(2n-3)t)\right)\\ =&n+n(n-1)t^2-(3+(n-3)t)n+((1-t)(3+(2n-3)t))n\\ =&n(1-t)(1+(n-2)t) \end{aligned}

于是

公式：\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}\ge\frac{n-1}{1-t}+\frac{1}{1+(n-1)t}

（注：即为上面所说的取等条件，一个为1+(𝑛−1)𝑡，另外𝑛−1个为1−𝑡．） 因此，只需证明：

公式：\begin{aligned} &\frac{n-1}{1-t}+\frac{1}{1+(n-1)t}\ge\dfrac{n}{1-t^2}\\ \iff&\dfrac{1}{1+(n-1)t}\ge\dfrac{n}{1-t^2}-\frac{n-1}{1-t}=\frac{1-(n-1)t}{1-t^2}\\ \iff&1-t^2\ge 1-(n-1)^2t^2\\ \iff&n(n-2)t^2\ge 0 \end{aligned}

由≥3知，结论成立．◻

本题也有一个恒等变形的方法，供读者参考．

利用一样的方法，读者可以自己完成下面两题：