平移、投影与Cauchy：一类二次型不等式的处理方法

许多加权二次型不等式虽然具有较复杂的系数形式，其主要结构通常由

等少数几个量决定．处理此类问题的关键，在于识别待证式所依赖的方向，并对常数方向与权方向作适当的正交分解． 当权 𝑎_(𝑖)构成等差数列，或关于中点具有成对对称性时，权的中心化会自然引出∑(𝑎_(𝑖)−𝑎^(–))^(2)；若相应二次型在某一方向上具有平移不变性，还可进一步施加适当的归一化条件． 经过这些处理，原问题常可化为一次 Cauchy 不等式或低维二次型的非负性问题．

本文按照“中心化 →平移归一化 →正交投影”的顺序展开． 首先建立中心化 Cauchy 不等式，并给出共同平移下施加 ∑𝑥_(𝑖)=0归一化条件的严格前提； 随后讨论沿任意方向的平移不变性，并借助二阶、三阶 Gram 行列式说明其投影结构． 最后通过三道例题分别讨论整体平移不变、沿常数方向完成平方以及投影后处理最优参数三类情形．

除特别说明外，本文中的变量均为实数．

中心化 Cauchy 与常数方向的正交分解

设

则

且由于 ∑_(𝑖=1)^(𝑚)(𝑎_(𝑖)−𝑎^(–))=0，有

对两个中心化后的向量应用 Cauchy，即得下述结论．

性质 1（中心化 Cauchy）．若 𝑎_(1),…,𝑎_(𝑚)不全相等，则对任意 𝑥_(1),…,𝑥_(𝑚)，

等号成立当且仅当存在实数 𝛼,𝛽，使

证明．由 Cauchy，

代入前面的恒等式即可．

Cauchy 取等的条件为

即 𝑥_(𝑖)=𝛼+𝛽𝑎_(𝑖)．

评注．若记

则 𝒆⊥𝒂_(0)，而性质 1 可写成

因此，权的中心化等价于将常数向量与权向量正交化．

共同平移与归一化条件

把所有变量同时加上同一个实数 𝑡：

由

可见，这个方差型二次式在共同平移下保持不变．若 ∑_(𝑖=1)^(𝑚)𝑐_(𝑖)=0，则

也保持不变．因此，若待证式由这类平移不变量组成，整个待证式就在共同平移下不变．

性质 2（共同平移下的归一化）．设要证明的命题等价于

并且

若变量的定义域在共同平移下也保持不变，则可在证明中施加归一化条件

证明．取

平移后的变量仍在定义域内，且变量和为 0；由平移不变性，待证式的值没有改变．

评注．上述归一化须同时满足两个前提：整个待证式在共同平移下保持不变，且变量的定义域在该平移下保持封闭． 例如，当题目要求 𝑥_(𝑖)>0时，将平均值平移至 0后一般不能保证各变量仍为正数，因此不能据此施加 ∑𝑥_(𝑖)=0的归一化条件．

从向量角度看，

共同平移不改变该量，其原因在于该量仅由 𝒙在 𝒆^(⊥)上的正交投影决定． 归一化条件 ∑𝑥_(𝑖)=0在几何上相当于沿 𝒆方向将 𝒙平移至 𝒆^(⊥)．

任意方向的平移不变性与正交投影

共同平移是沿 𝒆=(1,…,1)方向移动．更一般地，固定非零向量 𝒗，定义

直接展开可得

另一方面，

因此 𝑄_(𝒗)只由 𝒙在 𝒗^(⊥)上的投影决定．

若整个待证式在

下不变，变量的定义域也沿该方向保持不变，且需要将线性量 𝒙⋅𝒖化为 0，只要 𝒖⋅𝒗≠0，就可取

共同平移对应于 𝒗=𝒆的特殊情形．

评注．若仅有待证式中的某一部分（例如 𝑄_(𝒗)）在 𝒗方向的平移下保持不变， 则该局部不变性不足以支持对整个命题施加归一化条件．此时仍可作换元 𝒙=𝒚+𝑡𝒗以化简 𝑄_(𝒗)，同时须对其余各项作相应改写． 例 3 属于此类情形．

投影 Cauchy 与 Gram 行列式

先回顾二阶情形．若

则 Lagrange 恒等式给出

恒等式右端为平方和，故其非负性即给出 Cauchy；左端同时等于二阶 Gram 行列式

因此，Lagrange 恒等式、二阶 Gram 行列式的非负性与 Cauchy 不等式分别给出了同一非负结构的平方和表示、行列式表示与不等式表示．

以下固定非零向量 𝒗，把 𝒙,𝒖都投影到 𝒗^(⊥)：

对 𝒙_(0),𝒖_(0)应用 Cauchy，可得如下投影形式．

性质 3（投影 Cauchy）．对任意向量 𝒙,𝒖与非零向量 𝒗，

等号成立当且仅当 𝒙,𝒖,𝒗线性相关．

证明．由投影公式，

将这三式代入 ∥𝒙_(0)∥^(2)∥𝒖_(0)∥^(2)≥(𝒙_(0)⋅𝒖_(0))^(2)即得结论． 取等时 𝒙_(0),𝒖_(0)线性相关，这等价于 𝒙,𝒖,𝒗线性相关．

评注．若记三阶 Gram 行列式

则把前两行、列中沿 𝒗的分量消去，可得

性质 3 两端之差等于 ∥𝒗∥^(2)𝐷．若把三个向量写成 ℝ^(𝑚)中的坐标，Cauchy–Binet 公式还给出