代数
共 131 篇 · 第 1 / 4 页 不等式、多项式、函数方程、数列与恒等变形
一道不等式问题的简解
个人感觉做得比GPT要简洁不少（见图2），题目为戴安娜的梦老师原创，戴老师在数之谜上最近出了很多非常优雅的原创题，推荐大家试一试
借一道简单的原创不等式，纪念今年的生日
题目 设 a_i,b_i （i=1,2,…,1013）为任意非负实数，下标模 1013 理解．求最大的实数 C，使得不等式 ∏_(i=1)^1013(a_i a_(i+1)+b_i b_(i+1)) + …
数字可能只是包装：2016年高联加试A卷第1题
以 2016 年高联加试 A 卷第 1 题为例：题面里的日期数字多是包装，关键是识别背后的代数结构
从限制条件个数出发的消元法：2018年高联加试P1的详细分析
2018 年高联加试 P1 的详细分析：题目同时出现多个变量与两个整体变量，直接展开会爆下标；改从限制条件的个数出发逐层消元
“权重集中引理”在不等式中的应用三例
给出一条「权重集中引理」并自证：把加权和收到最大的前几个系数之和上，再用三个例子说明它在加权不等式里的用法
最近做的一些代数原创题
近期在数之谜上做的若干代数原创题，用手稿转录工具整理后一并发出，原手稿见数之谜对应题目的评论区
联赛前一周：不等式中的“猜取等”
从端点、整数性、对称性与取等条件出发，梳理不等式极值题中「先猜等号、再构造证明」的方法，配有例题与练习
绝对值不等式：三角不等式与结构方法
在 |x-y|≤|x-t|+|t-y| 中，取等要求 t 位于 x,y 之间． 1.1 配对与整体合并 例 1（1995 年莫斯科数学奥林匹克 11 年级第 1 题） 对任意实数 x,y,z，…
离散型不等式：整数条件的几种基本用法
系统整理含整数条件的不等式的七类基本用法，用 15 个例题说明：先在实数范围估计，再利用离散性收紧界或确定取等结构
用正负分离解答2026年8月谜之竞赛不等式
一道模意义下的竞赛不等式（李天勤供题）：先用构造给出上界，再按负数个数分类，用正负分离把最小值钉住
n元不等式中的反证法：反设以后得到什么
讨论 n 元不等式里的反证法：反设之后究竟能拿到哪些可用条件——从「任意」中取出坏对象、把变量限制到便于比较的区间、用递推固定相邻项符号，等等
平移、投影与Cauchy：一类二次型不等式的处理方法
处理一类加权二次型不等式：先用正交分解把常数方向与权方向分开，再用 Cauchy 不等式估计；适用于权成等差或关于中点成对对称的情形
加权均值视角下的三行证明——2025年高联二试不等式
题目：设 m,n,k 都是正整数，m≥ 2，且 n≥ k≥ 2，实数 x_1≥ x_2≥ …≥ x_n≥ 0，满足以下两个条件：1 x_1^m+x_2^m+…+x_n^m≥ 1；…
2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答
2026 年中国女子数学奥林匹克第一天试题的解答，含数论、几何与组合题
一道原创代数题及解答
（难度约联赛二）：命题灵感来自棋盘上互不攻击的车，问一个求和式在置换下的最小值
来自菲尔兹奖得主邓煜的一道不等式：2023年CTST P11的期望证法
2023 年 CTST P11（邓煜供题）不等式的期望证法：先证一个二维情形的引理，再用相互独立、等概率取值的随机变量把原题化归
一道三元不等式的“装逼式证明”
一道三元不等式的待定系数证法，待定过程留给读者
代数-将数表写出来
公众号原标题：【高联专题讲座】代数-将数表写出来今天由我给大家带来代数专题—将数表写出来。五道例题如下：期待大家的一键三连！
用局部不等式证明一道新题
今天傍晚，吴黎老师在赛题讨论群发了一道原创新题，题目如下：设 n≥ 4，x_1,x_2,…,x_n>0，下标按模 n 循环（即 x_0=x_n，x_(n+1)=x_1）．求最大常数 k_n，…
一分钟做不等式系列（16）——2026年新疆预赛
题目：（有改动，原题见文末） 已知 n≥ 3，n_+，且 Σ_(i=1)^na_i=2n，a_i≥ 0，i=1,2,…,n，…
2025年巴尔干预选题A6解答
龚老师在中写了剩余6道题目的解答，见 2025年巴尔干预选6个代数题目及解答 ．这里我把剩下一道题补上（用pqr方法也非常简单）． 题目：设正实数 a,b,c 满足 …
一分钟做不等式系列（15）——2026年土耳其EGMO TST
下班前看到初中竞赛题选讲 第八百五十八题，随手写一下
遇事不决，待定系数
这是两年前在B站上发的一道题，难度不大，但前段时间有人问局部不等式是怎么想到的。五一期间正好又给学生讲了这题，于是写一下这个局部的产生。…
一分钟做不等式系列（14）——2026年比荷卢数学竞赛
一分钟做不等式系列（14）——2026 年比荷卢数学竞赛题目的一分钟解法
发两道简单的新题
设 π_1,π_2,…,π_n 为 1,2,…,n 的一个排列．求证：对任意实数 a_1≤ a_2≤…≤ a_n 和 b_1≤ b_2≤ …≤ b_n，…
一分钟做不等式系列（13）——2026年韩国冬令营模拟测试
注：非常简单的问题，非常经典的操作。本题的2026可以改为一般的偶数n，奇数情况稍复杂一些，读者可以自己作为练习。…
一分钟做不等式系列（12）——2025年韩国数学奥林匹克第二轮
题目来源：2025韩国数学奥林匹克 第二轮 中文翻译
一分钟做不等式系列（11）——2025年巴西数学奥林匹克
题目来源：2025巴西数学奥林匹克 中文翻译 今天的题目确实非常水，就不多说了（能放进解答比题目短系列了）。后台有读者说这个系列好久没有更新了，主要是我只想放一些新的比赛题，欢迎大家多多投稿难度适合的新题目
2025年高联二试代数题的数形结合解法
下午在返校的车上突然想到的（其实是道陈题的推广，见 数形结合问题12例 中的第5题，该文章的封面图就是下面解答中的图） 联赛结束，终于有一个晚上陪女儿了，所以拖到了现在才写。写得仓促，过程比较简略，字也有些潦草。…
一道来自朝鲜的离散不等式问题
之前讲过很多次这道题，今天看AoPS才发现这是2016年朝鲜的国家队选拔考试题
《中等数学增刊》一道代数题另证
题目：设实数 a_1,a_2,…,a_2025 满足 ∏_(i=1)^2025(a_i+1)=∏_(i=1)^2025(a_i-1). 求 Σ_(i=1)^2025|a_i| 的最小值． 解答：（以下用奇数 n≥ 3 …
小学生也能看懂的2024年IMO预选题A2解答
题目：设 n 是正整数，非负整数 x_0,x_1,…,x_n 满足 x_0+x_1+…+x_n=n ．求 S=2^0x_0^2+2^1x_1^2+…+2^nx_n^2 的最小可能值． 解答：构造数表如下：即对任意 …
简证第十届爱尖子杯二试的三元不等式
求所有的实数 t，使得对任意正实数 a,b,c，都有 2+t(a+b+c)+abc≥(t+1)(√(ab)+√(bc)+√(ca)). 解答：令 a=b=x，c=1/(x^3)，…
一分钟做不等式系列（10）——2024年IFYM&2025年广州市预赛
去年龙老师翻译的时候就做了，没想到被用作了广州的预赛题。思路比较简单，就是最大值取相同的那些项是可以合并的，设出来之后配方就可以，但过程有一点难写
一道因看错题目产生的好题
2023年北方希望之星数学邀请赛第1题如下：设正实数 a_1,a_2,…,a_10 满足：（1）对于 1≤ i≤ 10，有 a_i≥1/i；…
一分钟做不等式系列（9）——2025 Serbian TST for the BMO
这个比赛的中文名字太长，打个英文的吧… 题目来源：2025巴尔干数学奥林匹克塞尔维亚代表队选拔考试 中文翻译
一分钟做不等式系列（8）——2025年菲律宾MO
一分钟做不等式系列（8）——2025 年菲律宾数学奥林匹克第 27 题：求使四元不等式恒成立的最大实数
既然都是隐藏思路，不如再彻底一些
早上看到的一道小题，其它解答我就不贴了。说一下我的观点：这类题目的做法，往往需要通过待定系数或者求导，求出（或者猜出）取等条件，再进行各种“神级放缩”。…
一分钟做不等式系列（7）——2025年波兰第二轮
不妨设b 1=a 1这一步比较关键，想到自然就完成了归纳递推
一分钟做不等式系列（6）——2025年土耳其EGMO选拔考试
做这种带年份的题目，过程中总会写很多次自己的生日，一种奇怪的熟悉感……
