代数 2025-05-25 含解答

简证第十届爱尖子杯二试的三元不等式

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 85 字公式 34 处

求所有的实数t，使得对任意正实数a,b,c，都有

2+t(a+b+c)+abc≥(t+1)(√(ab)+√(bc)+√(ca)).

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解答：

令a=b=x，c=(1)/(x^(3))，得

2+t(2x+(1)/(x^(3)))+(1)/(x)≥(t+1)(x+(2)/(x));⟺ t≥(x+(2)/(x)−2−(1)/(x))/(2x+(1)/(x^(3))−x−(2)/(x))=(x^(2))/((x+1)^(2));

令x→+∞，得t≥1．

下证：t≥1时，不等式成立．注意到不等式关于t为一次式，只需证明t=1时的情形，即

2+a+b+c+abc≥2(√(ab)+√(bc)+√(ca))

由抽屉原理，a,b,c三数中，必存在两数在1的同侧，不妨设(a−1)(b−1)≥0，于是abc≥(a+b−1)c．

2+a+b+c+abc;≥ 2+a+b+c+ac+bc−c;= (1+ac)+(1+bc)+(a+b);≥ 2(√(ab)+√(bc)+√(ca));

故满足题意的t的取值范围为[1,+∞)．

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