用非正常方法带你20分钟速通广东预赛填空

周六考完当天晚上，笔者花了20分钟，用各种不严谨的“非正常方法”，完美速通了这次广东预赛的填空题，这里作个记录。

本文纯属娱乐，请勿模仿！请勿模仿！！

容易观察到x=y=1时，等式成立，故x+y=2．

p的分母应为C38=56，由对称性，固定一个面后，分母也可以为C27=21．故分母应为它们的最大公约数7．大概估个量级，猜p=(1)/(7)．

构造△XYZ，使得三边长分别为2R,3R,4R．则XY^(→−)=2OA^(→−)，YZ^(→−)=3OB^(→−)，ZX^(→−)=4OC^(→−)．由余弦定理：

解得sin⁡A=(√(15))/(4)．

设g(x)=xf(x)−1，则g(x)为四次多项式，常数项为−1，且四个根为1,2,3,4，于是

因此5f(5)−1=g(5)=−1，即f(5)=0．

导角易证∠EDA=∠EAB=∠EBD，于是△ABE∼△BDE，BE=AE⋅(BD)/(AB)=√(2)．

令 u=cos x∈[-1,1]，则条件化为 2au²−bu−a≥−2（−1≤u≤1）。

取 u=0,1 分别得 a≤2、b≤2。若 b>4a，左端在区间上的最小值为 −b，从而 2a+b<3<4+√2。

否则极小点 u=b/(4a) 在区间内，故 a+b²/(8a)≤2，进而 a≤1+√(1−b²/8)。所以

2a+b≤2+2√(1−b²/8)+b≤4+√2；最后一个函数在 0≤b≤2 上递增。

取 a=1+1/√2、b=2 时极小值恰为 −2，故最大值为 4+√2。

令f(x)=(a^(x)−a^(−x))/(2)，g(x)=(a^(x)+a^(−x))/(2)．

于是f(2)+g(2)=a^(2)=(√(5))/(15)， f(8)−g(8)=−a^(−8)=−2025．

猜测A_(1)(−1,0),A_(2)(−2,0),A_(3)(3,0)时，取得最大值42．

取AB,CD中点M,N，熟知M,Q,N共线．则

由k_(AB)=k_(CD)知k_(OM)=k_(ON)，即O,M,Q,N共线．

于是e^(2)−1=k_(OQ)⋅k_(AB)=1，即e=√(2)．

将全体元素排列如下表：于是每行不能取相邻数字（首尾也视为相邻），每列恰取一个数字．本题等价于对首位相接的10个扇形的三染色，满足相邻扇形不同色的方法数．