用物理方法做一道四川预赛的概率问题

解答：

（1）考虑两只兔子的相对运动，问题可以简化为：

开始两只兔子距离为4，一只兔子静止．每过一分钟，另一只有(1)/(2)的概率静止，(1)/(4)的概率向左跳动2，(1)/(4)的概率向右跳动2．

也可再次简化为：

开始一只兔子在正方形的一个顶点上，每过一分钟，兔子有(1)/(2)的概率跳到左边相邻顶点，有(1)/(2)的概率跳到右边相邻顶点．求兔子首次跳到初始位置的相对顶点时，跳跃时间的期望．（最后乘2)

（2）事实上，简单图上的随机游走可以等价于一个电阻网络．（这里不详细介绍，大家可以看 https://dl.ccf.org.cn/video/videoDetail.html?_ack=1&id=7542413343115264 内的视频，或查找相关资料了解）

核心在于马尔可夫过程的转移矩阵和电阻网络的拉普拉斯矩阵的联系．

• 随机游走的转移矩阵：𝑃=𝐷^(−1)𝐴（𝐷是度数对角矩阵，𝐴是邻接矩阵）
• 电阻网络的拉普拉斯矩阵：𝐿=𝐷−𝐴

两者满足关系𝐿=𝐷(𝐼−𝑃)．

这意味着它们的调和函数、边界值问题、特征值等性质一一对应．随机游走的概率方程和电路的电压电流方程，本质上都是拉普拉斯方程的不同表现形式．

一般结论：

对任意连通无向图𝐺，从顶点𝑠到𝑡再返回𝑠的往返期望时间满足

其中𝑚为𝐺的边数，设每一条边的电阻为1，𝑅_(𝑠𝑡)为𝑠,𝑡之间的等效电阻．

如果𝑠,𝑡在𝐺中是对称的（如本题的正方形相对顶点），则

对于本题，𝑚=4，𝑅_(𝑠𝑡)=(1)/((1)/(2)+(1)/(2))=1，故𝐸[𝑇_(𝑠→𝑡)|=4，原题答案为8．