组合与概率 2025-08-19 含解答

一道概率问题的解答

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 321 字公式 38 处

题目：

甲、乙两人进行若干次猜拳，两人约定若某次猜拳后甲累计胜过乙的次数大于猜拳次数的一半，则游戏结束，甲获胜，否则游戏继续进行. 则甲能在有限次猜拳后获胜的概率是______．

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解答：

每次猜拳甲胜的概率为(1)/(3)，不胜的概率为(2)/(3)，最终获胜条件为甲获胜次数减去不胜的次数首次等于1．这等价于如下问题：

对一件装备进行强化，初始等级为0，每次强化有(1)/(3)的概率等级+1，(2)/(3)的概率等级−1（装备等级可为任意整数）．求能强化到+1的概率．

我们定义装备的“价值”如下：k级装备的价值为2^(k)．这样初始价值为2^(0)=1，每次强化后的期望增加价值为

(1)/(3)(2^(k+1)−2^(k))+(2)/(3)(2^(k−1)−2^(k))=0

即每次强化，期望价值不变．

这样在最终停止时，设有p的概率等级为+1，则有1−p的概率等级趋于−∞，于是

p⋅2^(1)+(1−p)⋅lim_(n→−∞)2^(n)=1

即p=(1)/(2)．

注：本题即为一侧吸收壁为−∞的马尔科夫过程，一般情况也可以用此方法解决，关键在于定义合适的“价值”，使得期望不变．当然，用一般的数列递推方法也可以解决，读者不妨自己尝试一下．

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