组合与概率
共 35 篇 计数、图论、染色、博弈、组合构造与概率期望
不等式证明中的图论方法：团数、谱与路径结构的应用
整理不等式证明中借图论工具的一类做法：用团数、邻接矩阵与图拉普拉斯矩阵的谱、以及路径结构刻画约束，并按归一化条件选择对应工具
一道组合恒等式的双射证法：2000年CTST第2题
2000 年 CTST 第 2 题：先补项、再把补项后的式子赋予组合意义，用双射直接读出组合恒等式的值
2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答
2026 年中国女子数学奥林匹克第一天试题的解答，含数论、几何与组合题
2026年东南数学奥林匹克高一组P8一个非常自然的构造方式
2026 年东南数学奥林匹克高一组 P8：证明一个不定方程组有无穷多组解，重点讲这个构造是怎么自然想出来的
来自菲尔兹奖得主邓煜的一道不等式：2023年CTST P11的期望证法
2023 年 CTST P11（邓煜供题）不等式的期望证法：先证一个二维情形的引理，再用相互独立、等概率取值的随机变量把原题化归
用物理方法做一道四川预赛的概率问题
题目：解答：（1）考虑两只兔子的相对运动，问题可以简化为：开始两只兔子距离为 4，一只兔子静止．每过一分钟，另一只有 1/2 的概率静止，1/4 的概率向左跳动 2，…
一个有趣的计数分界点：为什么 n≤4 时答案如此简洁？
本文由我提供完整思路，豆包完善具体过程而成
发两道简单的新题
设 π_1,π_2,…,π_n 为 1,2,…,n 的一个排列．求证：对任意实数 a_1≤ a_2≤…≤ a_n 和 b_1≤ b_2≤ …≤ b_n，…
以恩的“作弊”石子局：背后竟是今年女奥的策略问题
希望对数学的热爱和自信能够一直伴随着你
2025年MEMO团体赛第1题及解答
上午刚看到的题，感谢赵力博士的翻译。第1题比较简单，很快就做出来了，顺手写一下。题目：（2025年MEMO团体赛第1题） Bob 有 n 枚硬币，…
一道概率问题的解答
题目：甲、乙两人进行若干次猜拳，两人约定若某次猜拳后甲累计胜过乙的次数大于猜拳次数的一半，则游戏结束，甲获胜，否则游戏继续进行. 则甲能在有限次猜拳后获胜的概率是＿＿＿． 解答：每次猜拳甲胜的概率为 1/3，…
2025年罗马尼亚大师杯第1题解答
主要难度在理解概念，有点类似于2012年的联赛第3题
关于Catalan数的组合恒等式（2024年CTST第二轮第1题）
题目：对自然数 n，记 C_n=1/(n+1)C_(2n)^n=((2n)!)/(n!(n+1)!) 是卡塔兰数．求证：对任意自然数 m，…
一个取球次数数学期望的简单求法
吴其建老师问了我这样一个问题：一个袋子中有 m （m≥ 3）个除颜色外其余无差别的小球，其中有 3 个红球，从中不放回地取出小球直到取出第二个红球为止，记 X 为取出的小球个数，…
用概率告诉你怎么“蒙”多项选择题
本文仅作理论探究，请勿用于实践。新高考数学试卷的第9题至第12题为多项选择题，每小题5分，四个选项中有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。…
2022年IMO预选题A5另解（其实更像组合题）
1. （2022年IMO预选题A5） 求所有的整数 n≥ 2，使得存在正实数 a_1<a_2<…<a_n 和正实数 r，…
一道组合型不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道组合型不等式给定正整数 n，设 φ(1),φ(2),…,φ(n) 为 1,2,…,n 的任意一个排列．求 f(n)=Σ_(i=1)^([n/2])φ(i)+Σ_(i=[n/2]+1)^nφ^(-1)(i) 的最小值，…
2023年中国台湾IMOC组合组
公众号原标题：2023年中国台湾IMOC组合组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
求俱乐部个数的最大值
公众号原标题：【习题研讨】求俱乐部个数的最大值昨天发的题目有误，感谢万宏老师指出，今天进行了更正
一道有趣的计数问题
公众号原标题：【新年快乐！】一道有趣的计数问题用由 3 个小方格组成的L形（可旋转）和 1× 1 的小方格不重叠地覆盖 4× 4 的正方形棋盘，共有多少种覆盖方法？（旋转、对称后重合的视为不同方法） 不确定自己答案是否正确的话，…
2022年中国台湾IMOC——数论、组合组
公众号原标题：2022年中国台湾IMOC中文翻译——数论、组合组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）组合组
公众号原标题：2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）组合组——中文翻译A组 在正八边形中随机选择两条不同的对角线，设这两条对角线在正八边形内部相交的概率为 a/b，a 和 b 为互质的正整数，求 a+b 的值． 18 个人排成一队进入杂货店，其中 5 人戴黑色口罩，6 人戴灰色口罩，…
多面体欧拉公式的几个简单应用
在凸多面体中，其顶点 vertex 数 V，边 edge 数 E，面 face 数 F 满足如下关系式：V-E+F=2 例如：四面体有 4 个顶点、6 条边、4 个面，…
丘成桐数学零试第1题及类似一题
2021年9月4日的清华大学丘成桐数学零试第一题如下：完整试题及解析见：【修订版】丘成桐数学零试完整试题&解析发布！…
2021年中国台湾IMOC——组合组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——组合组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．
一道计数小题的分析
2021年北京大学优秀中学生暑假学堂数学测试的第一题如下：求集合 {1,2,…,2021} 的非空子集中元素和为 3 的倍数的集合个数． 这是一道很陈的题了，…
一道无理数集合问题的图论解法
公众号原标题：【教学笔记】一道无理数集合问题的图论解法今天给学生讲了一道2019年百子S8等级的考试题目． 题目：一个由实数构成的集合 M 称为“幸运集“，若它满足以下性质：对每个 x,y∈ M，x≠ y，数 x+y，xy 均不为 0，且恰好有一个是有理数；…
一道IMO题目的经典构造
公众号原标题：【教学笔记】一道IMO题目的经典构造今天给学生讲了1977年IMO的第2题：若自然数 n 满足如下条件：存在由 n 个实数组成的数列，使得任意连续 7 项之和为负，任意连续 11 项之和为正．求 n 的最大值． 首先容易得到 n 的一个上界 77，…
从取石子问题到一个象棋残局
昨天做了一道取石子问题，比较有意思． 题目1 有 4 堆石子，每一堆中的石子个数分别为 3、5、7、9 ．二人轮流从中取石子，每人每次可以从某一堆中取任意枚石子（至少 1 枚），最后取完者为胜，…
一个有趣的拼图游戏——Untouchable 11
今天偶然看到一个拼图游戏：Untouchable 11．花了接近两个小时才完成，非常有意思． 下面是这个拼图游戏的出处． 规则是这样的：给定 11 块如图所示的拼图（其实就是正方体表面的全部 11 种展开图），…
三道百子遴选考试题目及解答
在5月2日和5月3日举办的百子遴选考试中，我为S5，S8和S9、10三个级别各供了一道题．下面是这三道题目及解答．
从一个集合问题的构造到有限射影平面
本文在申强老师的指导下完成，感谢强神．
数学竞赛中的俄罗斯方块——一道USAMO组合题的解答
题目 n≥ 2 为整数．有一块 n× n 的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：如果木板上有 3 个单元格组成的 L 形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，…
几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答
这是昨天发的 2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛 中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流． 第1题（40分） 正整数 a，…
从女儿的桌游想到的两道集合问题
晚上陪女儿玩了她喜爱的桌游Crazy Matching（疯狂对对对）．核心规则比较简单，就是找出任意两张卡片
