一道无理数集合问题的图论解法

分析： 条件1给出了幸运集中任意两个不同元素之间的关系：要么和为有理数，要么积为有理数．于是可以想到将其转化为一道简单的图论问题．

对𝑀中的两个不同元素𝑥和𝑦，若𝑥+𝑦∈ℚ，则在𝑥和𝑦之间连一条红边，若𝑥𝑦∈ℚ，则在𝑥和𝑦之间连一条蓝边．

除题目中已给出的外，对于幸运集𝑀中任意三个不同元素𝑥，𝑦，𝑧，有以下几个结论：

1. 𝑥+𝑦，𝑦+𝑧，𝑧+𝑥不同时为有理数．否则

   公式：2x=(z+x)+(x+y)-(y+z)\in\mathbb{Q}

   与条件2矛盾；
2. 𝑥𝑦，𝑦𝑧，𝑧𝑥不同时为有理数．否则

   𝑥^(2)=(𝑧𝑥⋅𝑥𝑦)/(𝑦𝑧)∈ℚ

   与条件2矛盾．

到这里，容易想到拉姆塞问题．因为将𝑀中所有边红蓝二染色后，必不存在同色三角形，于是𝑀中至多有5个元素．然而尝试后发现无法构造出满足题意的五元集合．原因是𝑀中的边有更高的要求：

3. （2的加强）𝑥𝑦，𝑥𝑧不同时为有理数．否则除2的情形外，有𝑦+𝑧∈ℚ．于是

   𝑥=(𝑥𝑦+𝑥𝑧)/(𝑦+𝑧)∈ℚ

   与条件2矛盾．

于是𝑀中不存在红色三角形，且蓝边不相邻．

如果𝑀中有不少于5个点，则𝐴_(1)𝐴_(2)，𝐴_(1)𝐴_(3)，𝐴_(1)𝐴_(4)，𝐴_(1)𝐴_(5)中蓝边至多一条，故至少有三条红边．由拉姆塞问题的证明过程可知必存在红色三角形，矛盾．

如果𝑀中有4个点，同上分析可知每个点恰连出2条红边，1条蓝边，且蓝边不相邻．于是一种构造为：红边为𝐴_(1)𝐴_(2)，𝐴_(2)𝐴_(3)，𝐴_(3)𝐴_(4)，𝐴_(4)𝐴_(1)；蓝边为𝐴_(1)𝐴_(3)，𝐴_(2)𝐴_(4)．

即𝑎_(1)+𝑎_(2)，𝑎_(2)+𝑎_(3)，𝑎_(3)+𝑎_(4)，𝑎_(4)+𝑎_(1)∈ℚ；𝑎_(1)𝑎_(3)，𝑎_(2)𝑎_(4)∈ℚ．

令𝑎_(1)=1+√(2)，𝑎_(2)=2−√(2)，𝑎_(3)=−1+√(2)，𝑎_(4)=−2−√(2)即可．

于是幸运集中元素个数的最大可能值为4．