组合
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不等式证明中的图论方法：团数、谱与路径结构的应用
整理不等式证明中借图论工具的一类做法：用团数、邻接矩阵与图拉普拉斯矩阵的谱、以及路径结构刻画约束，并按归一化条件选择对应工具
一道组合恒等式的双射证法：2000年CTST第2题
2000 年 CTST 第 2 题：先补项、再把补项后的式子赋予组合意义，用双射直接读出组合恒等式的值
一道整除问题的组合意义证法——2009年罗马尼亚大师杯第1题
2009 年罗马尼亚大师杯第 1 题：证明一个由最大公约数给出的表达式是整数。对比计算幂次与 Kummer 定理，重点讲用 Bézout 表示最大公约数的组合意义证法
一个有趣的计数分界点：为什么 n≤4 时答案如此简洁？
本文由我提供完整思路，豆包完善具体过程而成
2026跨年题，祝大家新年快乐！
设 a_1,a_2,…,a_22 为 1,1,2,2,…,11,11 的一个排列，且具有如下性质：若 a_i=a_j （1≤ i< j≤ 22），则对任意 i< k< j，都有 a_k< a_i；…
以恩的“作弊”石子局：背后竟是今年女奥的策略问题
希望对数学的热爱和自信能够一直伴随着你
温州二模多选压轴之尼姆博弈
一、游戏规则与直觉探索 假设你和朋友玩这样一个游戏：桌上有若干堆石子，两人轮流从任意一堆拿走至少一个石子，无法操作的人判负。…
关于Catalan数的组合恒等式（2024年CTST第二轮第1题）
题目：对自然数 n，记 C_n=1/(n+1)C_(2n)^n=((2n)!)/(n!(n+1)!) 是卡塔兰数．求证：对任意自然数 m，…
一道用数论估计方法做的组合几何题
题目：在平面上是否存在一个有限点集 S，使得其中至少有 |S|^2 组点构成调和四边形的四个顶点？分析：这是一道很有意思的问题，组合几何题往往几何成分偏少，这题则很罕见地出现了调和四边形这一概念。…
2022年IMO预选题A5另解（其实更像组合题）
1. （2022年IMO预选题A5） 求所有的整数 n≥ 2，使得存在正实数 a_1<a_2<…<a_n 和正实数 r，…
一道组合型不等式
公众号原标题：【习题研讨】一道组合型不等式给定正整数 n，设 φ(1),φ(2),…,φ(n) 为 1,2,…,n 的任意一个排列．求 f(n)=Σ_(i=1)^([n/2])φ(i)+Σ_(i=[n/2]+1)^nφ^(-1)(i) 的最小值，…
2023年中国台湾IMOC组合组
公众号原标题：2023年中国台湾IMOC组合组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
一道有趣的计数问题
公众号原标题：【新年快乐！】一道有趣的计数问题用由 3 个小方格组成的L形（可旋转）和 1× 1 的小方格不重叠地覆盖 4× 4 的正方形棋盘，共有多少种覆盖方法？（旋转、对称后重合的视为不同方法） 不确定自己答案是否正确的话，…
2022年中国台湾IMOC——数论、组合组
公众号原标题：2022年中国台湾IMOC中文翻译——数论、组合组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）组合组
公众号原标题：2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）组合组——中文翻译A组 在正八边形中随机选择两条不同的对角线，设这两条对角线在正八边形内部相交的概率为 a/b，a 和 b 为互质的正整数，求 a+b 的值． 18 个人排成一队进入杂货店，其中 5 人戴黑色口罩，6 人戴灰色口罩，…
2021年中国台湾IMOC——组合组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——组合组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．
一道计数小题的分析
2021年北京大学优秀中学生暑假学堂数学测试的第一题如下：求集合 {1,2,…,2021} 的非空子集中元素和为 3 的倍数的集合个数． 这是一道很陈的题了，…
一道无理数集合问题的图论解法
公众号原标题：【教学笔记】一道无理数集合问题的图论解法今天给学生讲了一道2019年百子S8等级的考试题目． 题目：一个由实数构成的集合 M 称为“幸运集“，若它满足以下性质：对每个 x,y∈ M，x≠ y，数 x+y，xy 均不为 0，且恰好有一个是有理数；…
从取石子问题到一个象棋残局
昨天做了一道取石子问题，比较有意思． 题目1 有 4 堆石子，每一堆中的石子个数分别为 3、5、7、9 ．二人轮流从中取石子，每人每次可以从某一堆中取任意枚石子（至少 1 枚），最后取完者为胜，…
数学竞赛中的俄罗斯方块——一道USAMO组合题的解答
题目 n≥ 2 为整数．有一块 n× n 的木板，初始是空的．在每一分钟，可以完成下列三个操作之一：如果木板上有 3 个单元格组成的 L 形区域（如下图，不允许旋转），且其中都没有石头，…
