一道用数论估计方法做的组合几何题

题目：

在平面上是否存在一个有限点集S，使得其中至少有|S|^(2)组点构成调和四边形的四个顶点？

问题一下子清晰了起来，我们先探究四点能构成调和点列的充分条件。

先将这四点平移至(0,0),(a,0),(b,0),(c,0)，其中0<a<b<c．于是

这里不需要求出方程的通解，找一些特殊解即可．

容易发现：b=2pq，a=p(p+q)，c=q(p+q)是一组解．

于是，对任意正整数m和k，(m,0)，(m+2kpq,0)；(m+kp(p+q),0)，(m+kq(p+q),0)都构成一组调和点列．

进一步地，为了不产生重复解，可令p为素数，且p,q互质．

接下来，对于固定的素数p，来求上述调和点列的组数：

先固定q，任取正整数m和k，使得最大数

共有

公式：\begin{aligned} &\sum_{k=1}^{[\frac{n}{q(p+q)}]}(n-kq(p+q))\\ \ge&\frac{n}{2}\left(\frac{n}{q(p+q)}-1\right)\\ =&\frac{n^2}{2q(p+q)}-\frac{n}{2} \end{aligned}

组解．

再让q任取和p互质的数，且p<q≤√(n)，设组数为f(p)，则

公式：f(p)\ge \frac{n^2}{2}\sum_{p\nmid q}\max\left\{0,\frac{1}{q(p+q)}-\frac{1}{n}\right\}

于是

公式：\begin{aligned} &\lim_{n\to\infty}\frac{f(p)}{n^2}\\ \ge&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\sum_{p\nmid q}\max\left\{0,\frac{1}{q(p+q)}-\frac{1}{n}\right\}\\ \ge&\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{2p}\sum_{p\nmid q}\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p+q}\right)-\frac{\sqrt{n}}{n}\right]\\ =&\frac{1}{2p}\left(\frac{1}{p+1}+\cdots+\frac{1}{2p}\right)\\ \ge&\frac{1}{2p}\cdot\frac{p}{2p}\\ =&\frac{1}{4p} \end{aligned}

熟知全体素数的倒数和发散，于是当n足够大时，总有

即∑_(p)f(p)>n^(2)，于是完成了证明．

注：

上述过程主要呈现思路，其中细节请读者自行完成。