数论
共 29 篇 整除、同余、素数分布与数论构造
一道整除问题的组合意义证法——2009年罗马尼亚大师杯第1题
2009 年罗马尼亚大师杯第 1 题：证明一个由最大公约数给出的表达式是整数。对比计算幂次与 Kummer 定理，重点讲用 Bézout 表示最大公约数的组合意义证法
2026年中国女子数学奥林匹克第一天试题解答
2026 年中国女子数学奥林匹克第一天试题的解答，含数论、几何与组合题
2026年IMSC第5题解答
题目 求所有合数 n(n>1)，使得对任意正整数 d<n，若 (d,n)>1，则 n| d^n+(n-d)^((d,n)) ． 答案 n=p^α (p 为素数, 2≤ α≤ p), 或 n=pq (p,q …
2019年高联数论题的通项公式做法
今天看到飞哥新书里对2019年高联二试数论题的评注如下：事实上，对于本题，求出通项公式并非无用，甚至是我的第一想法，个人认为相当自然。以下为联赛当天我用酒店的纸笔写的解答，整体用时约20分钟
一道数论操作问题
公众号原标题：【520特辑】一道数论操作问题起初，黑板上有一个十进制正整数 n，在每一次操作中，可对黑板上的数作以下两种操作之一：擦去黑板上的数 m，并写上一个它的倍数 km，其中 k 可为任意正整数；…
2019年联赛A卷数论题的一个自然证法
题目：设 m 为整数，|m|≥ 2 ．整数数列 {a_n} 满足：a_1,a_2 不全为零，且对任意正整数 n，均有 a_(n+2)=a_(n+1)-ma_n ．求证：若存在整数 r,s （r>s≥ 2）使得 …
2024年BxMO第4题分析——一道由abc猜想而来的数论题
2024年BxMO第4题如下：对每个正整数 n，记 rad(n) 为 n 的所有不同素因子之积．求证：存在整数 a,b>1，满足 gcd(a,b)=1，…
一道用数论估计方法做的组合几何题
题目：在平面上是否存在一个有限点集 S，使得其中至少有 |S|^2 组点构成调和四边形的四个顶点？分析：这是一道很有意思的问题，组合几何题往往几何成分偏少，这题则很罕见地出现了调和四边形这一概念。…
证明n倍角的余弦值不可能为单位分数
1. 已知 p 为奇素数，α∈[0,(π)/2]，满足 cosα=1/p ．求证：对任意大于 1 的整数 n，均不存在正整数 m，使得 cos nα=1/m ． 假设结论不成立，即存在正整数 n>1 和 m，…
2023 年中国台湾 IMOC数论组
公众号原标题：2023 年中国台湾 IMOC数论组——中文翻译每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试。从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代。下面就是2023年夏令营的IMOC练习题。…
2023年IMO第一天试题解答
第1题 设 1=d_1< d_2< …< d_k=n 是合数 n 的全部正因数，若对任意 1≤ i≤ k-2，均有 d_i| d_(i+1)+d_(i+2)，…
2023年莫斯科数学奥林匹克砝码题解答
感谢苏淳教授的翻译，这里写一下十一年级组最后两题我的解答。今有一架绝对精准的双盘天平和 50 个砝码，这些砝码的重量分别为 arctan 1 , arctan1/2 , arctan1/3 , … , …
2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）
公众号原标题：2023年卡内基梅隆大学信息与数学竞赛（代数、数论组）——中文翻译代数、数论组 1. 非负整数 a,b,c,d 满足 (a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=2023. 求 a^3+b^3+c^3+d^3 ． 2. 求 a 的最大值，使得存在实数 b,c>1，…
2022年中国台湾IMOC——数论、组合组
公众号原标题：2022年中国台湾IMOC中文翻译——数论、组合组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
我的数论启蒙题
小学时候，我总爱摆弄各种数字。有一天，偶然发现 6^5+1=7777 这一神奇结论，不禁想到，还有没有与之类似的式子？很快想到了 2^5+1=33 这个更为简单的式子，但是否还有呢？这个问题困扰了我接近三年，…
2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）数论组
公众号原标题：2021年普林斯顿数学竞赛（PUMaC）数论组——中文翻译A组 求 2^(3^5)+3^(5^2)+5^(2^3) 除以 30 的余数． 数字 n 的子串为从 n 的开头和结尾删去一些数字所形成的新数字（可以在两侧删去不同数量的数字）．求所有满足如下性质的素数 p 之和：p …
阶乘与斐波那契数列
前段时间有个读者问了一道题：求所有的正整数 n，使得 n! 能表示为两个斐波那契数之积． 这应该是前两年的一道国外赛题，具体出处记不太清了．主要的想法是说明这样的 n 是有限的，…
邮资问题
今天上课给六年级的学生讲了一道邮资问题，涉及到的知识点有裴蜀等式、完全剩余系、整点问题，这里做个简单的记录． 例1． 1 用面值 8 分与 11 分的邮票（不限数量），有多少种资费支付不了?…
2021年中国台湾IMOC——数论组
公众号原标题：2021年中国台湾IMOC中文翻译——数论组每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，…
2021年德国数学奥林匹克解答
试题见：2021德国数学奥林匹克 中文翻译 求所有实数 a，b，c，d，使得 a，b 为 2x^2-3cx+8d 的两个互异根，且 c，…
韦达跳跃(Vieta Jumping)的几道例题
昨天转载有关韦达跳跃（Vieta Jumping）的几篇文章，今天再补充几道题目．
三道百子遴选考试题目及解答
在5月2日和5月3日举办的百子遴选考试中，我为S5，S8和S9、10三个级别各供了一道题．下面是这三道题目及解答．
几道2021HMMT春季赛团体赛题目的解答
这是昨天发的 2021哈佛麻省数学竞赛春季赛团体赛 中几道题的解答．如有更好做法，欢迎交流． 第1题（40分） 正整数 a，…
国家集训队一道数论型函数方程的解答
题目 求所有函数 f:Z^+^+，使得对任意正整数 m，n 满足 m≥ n，都有：f(mφ(n^3))=f(m)·φ(n^3) 其中 φ(x) 为欧拉函数． （China TST 2021, Test 2, Day 2 …
素数有无穷多个的17个证明（2）
9. Srinivasan的证明由Goldbach和Schorn的证明可知，如果存在无穷多个两两互素的正整数
素数有无穷多个的17个证明（1）
1. Euclid的证明 使用反证法．若只存在有限个素数，将所有素数从小到大依次排列为 2=p_1< p_2< …< p_r，再设 P=p_1p_2… p_r+1，…
一道数论难题的解答
题目 求所有满足 Σ_(i=1)^ni^n≡ 1(mod n) 的正整数 n ． 引理 对于质数 p，有 Σ_(i=1)^(p-1)i^n≡ { p-1, p-1| n 0, p-1∤ n . (mod p) …
Zeckendorf定理与黄金进制
Zeckendorf定理：任意一个正整数 n 都可以唯一地表示成下述形式 n=a_kF_k+a_(k-1)F_(k-1)+…+a_1F_1． 其中 F_i 为斐波那契数列（F_0=F_1=1，…
一道数论题的两种证法
公众号的第一篇文章，欢迎大家关注
