2024年BxMO第4题分析——一道由abc猜想而来的数论题
正文文字 622 字公式 87 处
2024年BxMO第4题如下：
对每个正整数n，记rad(n)为n的所有不同素因子之积．求证：存在整数a,b>1，满足gcd(a,b)=1，且
公式：\mathrm{rad}(ab(a+b))<\frac{a+b}{2024^{2024}}.题目背景：
rad(n)的含义
这里的rad(n)叫做正整数n的根数（radical），下面举几个例子：
特别地，定义1的根数rad(1)=1．
abc猜想
设正整数a,b,c满足a+b=c，且gcd(a,b)=1，考察rad(abc)和c的大小关系．
可以发现，在大多数情况下，c<rad(abc)，但也有无数组(a,b,c)，使得c>rad(abc)．例如：
更一般地，对于
公式：a=1,b=2^{p(p-1)n}-1,c=2^{p(p-1)n}
有rad(abc)<(2)/(p)c，其中p为大于2的素数．
由欧拉定理显然，读者可以自行验证．（这一过程很重要，后面还会用到）
abc猜想的标准形式如下：
设正整数a,b,c满足a+b=c，且gcd(a,b)=1，则∀ε>0，仅存在有限组(a,b,c)，使得
(rad(abc))^(1+ε)<c.
abc猜想在1985年被Joseph Oesterlé和David Masser提出，2012年时，日本数学家望月新一宣称证明了此猜想，但迄今为止，尚未证实整个证明是准确无误的。
本题与abc猜想的关系
由2知，满足rad(abc)<c的(a,b,c)有无穷多组，但只给出了a=1的构造．
本题进行了加强，要求
且要求给出a,b>1的一组构造．
分析：
对a+b=c，要想rad(abc)尽可能小，我们希望a,b,c中都有尽可能多的相同素因子．主要有下面两个思路：
让a,c均为一个素数的幂．
让a,b,c均为一个数的平方，考虑勾股方程的通解．
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解答1:
模仿背景2中的构造，可取a=2^(p(p−1))，c=3^(p(p−1))，则b=3^(p(p−1))−2^(p(p−1))．
于是rad(a)=2，rad(c)=3．
由欧拉定理：φ(p^(2))=p(p−1)，于是
因此rad(b)≤(b)/(p)．
公式：\begin{aligned}
&\mathrm{rad}(abc)\\
=&\mathrm{rad}(a)\mathrm{rad}(b)\mathrm{rad}(c)\\
\le&2\cdot \frac{b}{p}\cdot 3\\
<&\frac{6}{p}\cdot c
\end{aligned}取足够大的素数p，使得(6)/(p)≤(1)/(2024^(2024))，即p≥6×2024^(2024)即可．
解答2:
考虑勾股方程的通解：
公式：(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2
简单起见，取y=1，即
为使b=(2x)^(2)素因子尽可能相同，可取x=2^(n)，即
取a=(4^(n)−1)^(2)，b=4^(n+1)，c=(4^(n)+1)^(2)．
则rad(abc)=2rad(16^(n)−1)．现在希望
公式：2\mathrm{rad}(16^n-1)<\frac{(4^n+1)^2}{2024^{2024}}.
两边量级相同，但右边分母太大，所以希望16^(n)−1能够再分解出一些相同的素因子．
考虑LTE引理：
设x,y∈Z，n∈Z_(+)．对任意奇素数p，若p∣x−y，且p∤x，∤y，有
公式：v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n)
取一个奇素数p，使得p∣16−1，可取p=3，于是有
公式：v_3(16^n-1)=v_3(16-1)+v_3(n)=1+v_3(n)
为使16^(n)−1中有尽可能多的素因子3，可考虑让n=3^(k)，于是v_(3)(16^(3^(k))−1)=k+1，即3^(k+1)∣16^(3^(k))−1．因此
公式：2\mathrm{rad}(16^n-1)\le 2\cdot\frac{16^n-1}{3^k}<2\cdot\frac{(4^n+1)^2}{3^k}
取足够大的k，使得(2)/(3^(k))≤(1)/(2024^(2024))，即3^(k)≥2⋅2024^(2024)即可．
后记：
本题还有很多的构造方法，但大同小异，读者可以自行尝试．
总体来说，这题背景深刻，但考察的内容只是数论中的基本知识，难度相对较低，是一道非常有趣的数论问题．
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