数论 2025-09-08 含解答

2019年联赛A卷数论题的一个自然证法

程国根 · 微信公众号「恩次方根」

正文文字 241 字公式 93 处

题目：

设m为整数，|m|≥2．整数数列{a_(n)}满足：a_(1),a_(2)不全为零，且对任意正整数n，均有a_(n+2)=a_(n+1)−ma_(n)．求证：若存在整数r,s（r>s≥2）使得a_(r)=a_(s)=a_(1)，则r−s≥|m|．

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分析：

本题常规方法为模m，比较简单．这里写一个从数列通项角度考虑的方法，个人觉得也非常自然．

证明：

由递推公式可设a_(n)=A⋅α^(n−1)+B⋅β^(n−1)（次数设成n−1是为了使后面出现的a_(1)形式简洁），其中α,β为x^(2)=x−m的两根，即α+β=1，αβ=m．

由a_(r)=a_(s)=a_(1)知

A⋅α^(r−1)+B⋅β^(r−1)=A⋅α^(s−1)+B⋅β^(s−1)=A+B

视为关于A,B的齐次线性方程组

{(α^(r−1)−1)A+(β^(r−1)−1)B=0;(α^(s−1)−1)A+(β^(s−1)−1)B=0;

由a_(1),a_(2)不全为零知A,B不全为零，于是此方程组的系数行列式为零，即

(α^(r−1)−1)(β^(s−1)−1)=(α^(s−1)−1)(β^(r−1)−1)

也即

(αβ)^(s−1)(α^(r−s)−β^(r−s))+(α^(s−1)−β^(s−1))−(α^(r−1)−β^(r−1))=0

构造数列{b_(n)}：b_(n)=(α^(n)−β^(n))/(α−β)，其满足

b_(0)=0,b_(1)=1,b_(n+2)=b_(n+1)−mb_(n).

于是m^(s−1)⋅b_(r−s)+b_(s−1)−b_(r−1)=0（*）．

（至此，完成了对题目条件的“翻译”，将信息不明确的数列{a_(n)}转化成了固定的数列{b_(n)}）

将b_(n)往后写几项：

b_(2)=1,b_(3)=1−m,b_(4)=1−2m,b_(5)=1−3m+m^(2)

容易归纳证明：n≥2时，

b_(n)≡1−(n−2)m(modm^(2)).

（1）s≥3时，将(*)两边模m^(2)得：

0+1−(s−3)m≡1−(r−3)m(modm^(2))

即m^(2)∣(r−s)m，也即m∣r−s，证毕．

（2）s=2时，(*)变为mb_(r−2)+1−b_(r−1)=0．

(i)r≥4时，两边模m^(2)得：

m(1−(r−4)m)+1−(1−(r−3)m)≡0(modm^(2))

即m^(2)∣(r−2)m，也即m∣r−2=r−s．

(ii)r=3时，(*)变为mb_(1)+1−b_(2)=0，即m=0，矛盾．

综上，结论成立．

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