韦达跳跃(Vieta Jumping)的几道例题

分析 这是韦达跳跃这一技巧首次在大型竞赛中出现，本题被认为是当年最难的题目．有关本题的介绍可见：这是一道难倒了49个国家领队外加4个专家的竞赛题，抢了当年12岁获得IMO金牌陶哲轩的风头，堪称数学竞赛史上最传奇的一道题

证明 设(𝑎^(2)+𝑏^(2))/(𝑎𝑏+1)=𝑞，则

𝑎^(2)+𝑏^(2)=𝑞(𝑎𝑏+1)，

因而(𝑎,𝑏)是不定方程

𝑥^(2)+𝑦^(2)=𝑞(𝑥𝑦+1)

的一组（整数解）．

如果𝑞不是完全平方，那么上述方程的整数解中，𝑥、𝑦均不为0，因而

𝑞(𝑥𝑦+1)=𝑥^(2)+𝑦^(2)>0,

于是𝑥𝑦>−1，即𝑥𝑦>0，也即𝑥，𝑦同号．

现在设𝑎_(0)，𝑏_(0)是上述方程的正整数解中，使𝑎_(0)+𝑏_(0)为最小的一组解，且𝑎_(0)≥𝑏_(0)．那么𝑎_(0)是方程

𝑥^(2)−𝑞𝑏_(0)𝑥+(𝑏20−𝑞)=0

的解．

由韦达定理，此方程的另一个解是

𝑎_(1)=𝑞𝑏_(0)=𝑎_(0)．

𝑎_(1)是整数，而且(𝑎_(1),𝑏_(0))也是不定方程

𝑥^(2)+𝑦^(2)=𝑞(𝑥𝑦+1)

的一组（整数解）．所以𝑎_(1)和𝑏_(0)同为正．但由韦达定理

𝑎_(1)=(𝑏20−𝑞)/(𝑎_(0))<(𝑏20)/(𝑎_(0))≤𝑎_(0)

与𝑎_(0)+𝑏_(0)为最小矛盾．这说明𝑞一定是完全平方．

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本题还有以下两个推广：

推广1 设正整数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏+1∣𝑎^(2)+𝑏^(2)．求证：(𝑎^(2)+𝑏^(2))/(𝑎𝑏+1)=gcd(𝑎,𝑏)^(2)．

推广2 设正整数𝑎，𝑏，𝑐满足

0<𝑎^(2)+𝑏^(2)−𝑎𝑏𝑐≤𝑐，

求证：𝑎^(2)+𝑏^(2)−𝑎𝑏𝑐