证明两多项式相同的几个方法

前几天讲多项式时，我问了学生一个问题：最少通过几次整数赋值，能够证明两个整系数多项式𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)相同？

这个问题有些宽泛，因为还不知道这两个多项式的其余信息，比如最高次数，系数的分布情况等等。

如果已知这两个多项式的最高次数，则答案显然为其中较大的那个再加1．

而如果已知这两个多项式系数的上下界呢？事实上，只需要一次就可以了。(读者可以先自行思考如何做到)

我们来考虑应该赋怎样的整数值，才能做到一次就能证明这两个多项式相等。容易知道，所赋的值应该会比较大，因为如果𝑓(𝑥)≠𝑔(𝑥)，则𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)非零多项式，其在𝑥→+∞时也会趋于无穷．这样，当我们赋足够大的𝑥时，总会让𝑓(𝑥)≠𝑔(𝑥)．

这就产生了以下的问题：

设𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)都是整系数多项式．证明：𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)的充要条件是存在一个整数𝑡，使得𝑓(𝑡)=𝑔(𝑡)，这里𝑡比𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)的任意一个系数的绝对值的两倍都大．

证明： 设

公式：f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0，

公式：g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_0．

其中𝑎_(𝑖),𝑏_(𝑗)∈ℤ，𝑎_(𝑛),𝑏_(𝑚)≠0． 必要性显然，下证充分性．

若存在𝑡∈ℤ，使得

不妨设𝑛≥𝑚，则有

其中𝑐_(𝑖)=𝑎_(𝑖)−𝑏_(𝑖)，(若𝑖>𝑚，定义𝑏_(𝑖)=0)，𝑖=0,1,⋯,𝑛．

由题意知

公式：\begin{align*} t&>2\max\left\{|a_i|,|b_i|\right\}\\ &\geq \max\{a_i,b_i\}-\min\{a_i,b_i\}\\ &\geq |b_i-a_i|=|c_i| \end{align*}

由整数的离散性知：|𝑐_(𝑖)|≤𝑡−1．

于是

公式：\begin{align*} |c_nt^n|&=|c_{n-1}t^{n-1}+c_{n-2}t^{n-2}+\cdots+c_0|\\ &\leq|c_{n-1}|t^{n-1}+|c_{n-2}|t^{n-2}+\cdots+|c_0|\\ &\leq(t-1)(t^{n-1}+t^{n-2}+\cdots+1)\\ &=t^n-1\\ &< t^n \end{align*}

只能有𝑐_(𝑛)=0，即𝑎_(𝑛)=𝑏_(𝑛)≠0．这得到了𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的次数和首项系数均相同．

接下来，在等式两边减去𝑎_(𝑛)𝑡^(𝑛)，进行同样的操作，即可得到𝑎_(𝑛−1)=𝑏_(𝑛−1)，……，𝑎_(0)=𝑏_(0)．于是𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)，证毕．

如果我们对𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的系数作进一步限制，让其均为非负整数，将有一个更有意思的方法．

第一步，令𝑥=1，得到𝑓(1)与𝑔(1)的值，此即为𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的系数之和．我们有𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)的每一项系数均小于𝑁=max{𝑓(1),𝑔(1)}+1．

第二步，令𝑥=𝑁，若𝑓(𝑁)=𝑔(𝑁)，则𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)相同．

提示： 这可以从𝑓(𝑁)和𝑔(𝑁)在𝑁进制下的表示唯一而得．

并且由此方法，我们也能通过两次赋值，直接得到非负整系数多项式𝑓(𝑥)的各项系数．

最后抖个机灵。

如果不要求赋值为整数，并且保证给出的多项式值都是精确值的话，还可以令𝑥=𝜋．这样多项式值就被整整齐齐地排列成

公式：f(\pi)=a_n\pi^n+a_{n-1}\pi^{n-1}+\cdots+a_0

的形式了．

这是因为𝜋是超越数，其不是任意整系数多项式的根．故𝑓(𝜋)的表达式无法得到任何化简．