卡诺定理的两个证明

这是今天在上课时讲的一道例题．

卡诺定理 三角形外心到三边的有向距(外心在边的形内一侧的距离为正，形外为负)之和等于其外接圆与内切圆半径之和．

设三角形为△𝐴𝐵𝐶，外心为𝑂，𝑂在𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵上的射影分别为𝐷，𝐸，𝐹，𝑂𝐷=𝑑_(1)，𝑂𝐸=𝑑_(2)，𝑂𝐹=𝑑_(3)．△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为𝑅，内切圆半径为𝑟，面积为𝑆．

分析 题中没有出现内心，所以考虑将内切圆半径用三角形的边或角表示出来．外心𝑂到三边的距离可以有如下两种处理方式：

1. 计算面积，即有等式

   𝑂𝐷⋅𝐵𝐶+𝑂𝐸⋅𝐶𝐴+𝑂𝐹⋅𝐴𝐵=2𝑆
2. 用三角函数表示，即

   𝑂𝐷=𝑅cos∠𝐶𝑂𝐷=cos𝐴

由此有了以下两种方法：

方法一 只考虑𝑂在△𝐴𝐵𝐶内部的情形，其余情形类似可得．

注意到

公式：ad_1+bd_2+cd_3=2S=(a+b+c)r

要产生𝑅+𝑟，我们在两边同时加上(𝑎+𝑏+𝑐)𝑅，于是有

公式：ad_1+bd_2+cd_3+(a+b+c)R=(a+b+c)(R+r)

要想证明𝑑_(1)+𝑑_(2)+𝑑_(3)=𝑅+𝑟，只需证

公式：(a+b+c)(d_1+d_2+d_3)=(a+b+c)(R+r)

即证

公式：(a+b+c)(d_1+d_2+d_3)=ad_1+bd_2+cd_3+(a+b+c)R

也即

公式：(b+c)d_1+(c+a)d_2+(a+b)d_3=(a+b+c)R

注意到等式左右两边的项数之比为2:1，再结合题目中的垂直条件，联想到四点共圆和托勒密定理．

由𝑂、𝐸、𝐹、𝐴四点共圆知：

且𝑂𝐸=𝑑_(2)，𝐴𝐹=(1)/(2)𝑐，𝑂𝐹=𝑑_(3)，𝐴𝐸=(1)/(2)𝑏，𝐸𝐹=(1)/(2)𝑎，𝑂𝐴=𝑅．于是上式可写为

同理有

三式相加即证．

评注 以上还原了上课时的分析过程，整体十分自然．读者可以自行尝试点𝑂在三角形外部的情形．

方法二 事实上，我们有计算外心𝑂到△𝐴𝐵𝐶三边有向距的公式：

公式：d_1=R\cos A,d_2=R\cos B,d_3=R\cos C

值得一提的是，当𝐴为钝角时，cos𝐴<0，此时𝑑_(1)为负，恰好符合有向距的要求．

又有

公式：r=\dfrac{2S}{a+b+c}=\dfrac{4R^2\sin A\sin B\sin C}{2R(\sin A+\sin B+\sin C)}

于是

公式：\begin{align*} &d_1+d_2+d_3=R+r\\ \iff&R\cos A+R\cos B+R\cos C=R+\dfrac{2R\sin A\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\\ \iff&\cos A+\cos B+\cos C-1=\dfrac{2\sin A\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C} \end{align*}

这由三角形中常见的两个三角恒等式即可证明：

公式：\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}

公式：\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}

评注 使用三角法可以避免对𝑂位置的讨论．