有理根判定定理的一个妙用

证明

公式：q^nf\left(\dfrac{p}{q}\right)=a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0

注意到除𝑎_(𝑛)𝑝^(𝑛)外，其余每一项中均有𝑞，于是必有𝑞∣𝑎_(𝑛)𝑝^(𝑛)，而𝑝和𝑞互素，于是𝑞∣𝑎_(𝑛)．同理可证𝑝∣𝑎_(0)．

这个定理一般用于求出多项式有理根的可能取值集合．例如解方程

3𝑥^(3)−5𝑥^(2)+5𝑥−2=0

若其有有理根，则必为{±1,±2,±(1)/(3),±(2)/(3)}中的某个．然后逐一代入检验即可．

在讲完这类题后，我觉得有些枯燥．于是想起了一道有意思的数论题，分享给大家：

证明 构造多项式

公式：\begin{align*} f(x)=&\left(x-\dfrac{a}{b}\right)\left(x-\dfrac{b}{c}\right)\left(x-\dfrac{c}{a}\right)\\ =&x^3-\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)x^2+\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\right)x-1 \end{align*}

由题意知，这是一个整系数多项式．其有三个有理根(𝑎)/(𝑏)，(𝑏)/(𝑐)，(𝑐)/(𝑎)．

而由有理根判定定理，此多项式的有理根只能为±1，于是

∣(𝑎)/(𝑏)∣=∣(𝑏)/(𝑐)∣=∣(𝑐)/(𝑎)∣=1

即|𝑎|=|𝑏|=|𝑐|=1．