2021年中国台湾IMOC——代数组

每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．下面就是2021年中国夏令营的IMOC练习题（代数组）．

（公式较长，阅读时请左右拖动，也可以看后面的图片版）

代数组

1. 求所有实数𝑥，满足

公式：\sqrt{\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}}=x\text{．}

2. 对任意正整数𝑛，求所有𝑛元实数组(𝑎_(1),⋯,𝑎_(𝑛))，满足

公式：(x+a_{1})(x+a_{2})\cdots(x+a_{n})=x^{n}+\binom{n}{1}a_{1}x^{n-1}+\binom{n}{2}a_{2}^{2}x^{n-2}+\cdots+\binom{n}{n-1}a_{n-1}^{n-1}x+\binom{n}{n}a_{n}^{n}\text{．}

3. 对任意满足𝑥𝑦𝑧+𝑥+𝑦+𝑧=4的实数𝑥，𝑦，𝑧，证明：

公式：(yz+6)^{2}+(zx+6)^{2}+(xy+6)^{2}\geq 8(xyz+5)\text{．}

4. 求所有函数𝑓:ℝ→ℝ，满足对任意实数𝑥，𝑦，都有

公式：f(f(x)+y^{2})=x-1+(y+1)f(y)\text{．}

5. 给定𝑀为大于1的正实数，无穷实数列𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯满足𝑎_(𝑛)∈[1,𝑀]对任意𝑛∈ℕ恒成立．求证：对任意𝜀>0，存在正整数𝑛满足

公式：\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}}+\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}+\cdots+\dfrac{a_{n+t-1}}{a_{n+t}}\geq t-\varepsilon

对任意正整数𝑡均成立．

6. 设𝑛为正整数，𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)为实数．记

公式：S_{0}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^{2},S_{1}=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}a_{i+1},S_{2}=\sum\limits_{i=2}^{n}a_{i}a_{i+2}

其中𝑎_(𝑛+1)=𝑎_(1)，𝑎_(𝑛+2)=𝑎_(2)．
(1)证明：𝑆_(0)−𝑆_(1)≥0；
(2)证明：3为满足如下条件的𝐶的最小值：对任意的𝑛和𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)，有𝐶(𝑆_(0)−𝑆_(1))≥𝑆_(1)−𝑆_(2)．

7. 对任意满足𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)+𝑑^(2)=4的正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，求证：

公式：\dfrac{a^{3}}{a+b}+\dfrac{b^{3}}{b+c}+\dfrac{c^{3}}{c+d}+\dfrac{d^{3}}{d+a}+4abcd\leq 6\text{．}

8. 求所有函数𝑓:ℕ→ℕ，满足对任意正整数𝑥，𝑦，均有

公式：f(x)+yf(f(x))< x(1+f(y))+2021\text{．}

9. 对任意给定的正整数𝑛，求

公式：\sum\limits_{k=0}^{n}\left(\dfrac{\binom{n}{k}\cdot (-1)^{k}}{(n+1-k)^{2}}-\dfrac{(-1)^{n}}{(k+1)(n+1)}\right)\text{．}

10. 对任意满足𝑥𝑦𝑧+𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥=4的正实数𝑥，𝑦，𝑧，求证：

公式：\sqrt{\dfrac{xy+x+y}{z}}+\sqrt{\dfrac{yz+y+z}{x}}+\sqrt{\dfrac{zx+z+x}{y}}\geq 3\sqrt{\dfrac{3(x+2)(y+2)(z+2)}{(2x+1)(2y+1)(2z+1)}}\text{．}

11. 对𝑛≥2个实数𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)，求证：

公式：\prod\limits_{1\leq i< j\leq n}(x_{i}-x_{j})^{2}\leq \prod_{i=0}^{n-1}\left(\sum\limits_{j=1}^{n}x_{j}^{2i}\right)

并求出等号成立时的(𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛))．