2022年中国台湾IMOC——代数、几何组

每年，我国台湾的前IMO参赛者组成的小团体都会举办一个夏令营，讲解知识和技巧，还有8次模拟考试．从2017年开始，他们取消了模拟考试，用若干练习题来取代．下面就是2022年中国夏令营的IMOC练习题．

代数组

1. 正实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=3，求证：

   ∑_(𝑐𝑦𝑐)𝑦^(2)𝑧^(2)<3+∑_(𝑐𝑦𝑐)𝑦𝑧

2. 给定正整数𝑛≥2，实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足𝑎21+𝑎22+⋯+𝑎2𝑛=1．求

   |𝑎_(1)−𝑎_(2)|+|𝑎_(2)−𝑎_(3)|+⋯+|𝑎_(𝑛)−𝑎_(1)|

   的最大值．

3. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ满足：

   公式：xy(f(x+y)-f(x)-f(y))=2f(xy)

4. 记所有从ℕ_(+)到ℕ_(+)的双射组成的集合为B．求所有映射𝐅：B→ℝ，满足：

   公式：(\mathbf{F}(p)+\mathbf{F}(q))^2=\mathbf{F}(p \circ p)+\mathbf{F}(p \circ q)+\mathbf{F}(q \circ p)+\mathbf{F}(q \circ q)

5. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ满足：

公式：\begin{align*} &\left (x \left (f(x)-\dfrac{f(y)+f(z)}{2} \right) +y \left (f(y)-\dfrac{f(z)+f(x)}{2} \right ) +z\left (f(z)- \dfrac{f(x)+f(y)}{2} \right) \right )f(x+y+z)\\=& f(x^3)+f(y^3)+f(z^3)-3f(xyz) \end{align*}

6. 求所有函数𝑓：ℝ^(+)→ℝ^(+)满足：

   公式：f(x+y)f(f(x))=f(1+yf(x))

几何组

1. △𝐴𝐵𝐶的外心和垂心分别为𝑂和𝐻．𝑋𝐴𝐶𝐻为平行四边形．若𝑂𝐻//𝐵𝐶，求证：𝑂𝑋和𝐴𝐵的交点在𝐴𝐻的中垂线上．

2. △𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼．内切圆在𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵上的切点分别为点𝐷，𝐸，𝐹．点𝑅在𝐵𝐶上，满足∠𝐶𝐼𝑅=90^(∘)．设△𝐶𝐸𝑅的𝐶-旁心为点𝐿．求证：𝐿、𝐷、𝐹三点共线当且仅当𝐵、𝐸、𝐴、𝑅四点共圆．

3. △𝐴𝐵𝐶为锐角三角形．𝑅为𝐵𝐶上一点．在直线𝐴𝑅上取点𝑃、𝑄，使得𝐵、𝑃、𝐶、𝑄四点共圆．设𝐵𝑃、𝐶𝑃、𝐵𝑄、𝐶𝑄和△𝐴𝐵𝐶的另一个交点分别为𝑃_(𝐵)、𝑃_(𝐶)、𝑄_(𝐵)、𝑄_(𝐶)．设△𝑃𝑃_(𝐵)𝑃_(𝐶)和△𝑄𝑄_(𝐵)𝑄_(𝐶)的外心分别为点𝑂_(𝑃)和𝑂_(𝑄)．求证：𝐴、𝑂_(𝑃)、𝑂_(𝑄)、𝑅四点共圆．

4. 设锐角△𝐴𝐵𝐶的外接圆为Ω．过𝐴作𝐵𝐶的平行线和Ω再次交于点𝐷．以𝐵为圆心，𝐵𝐷为半径作圆𝜔_(𝑏)，𝜔_(𝑏)和𝐴𝐵再次交于点𝐸；以𝐶为圆心，𝐶𝐷为半径作圆𝜔_(𝑐)，𝜔_(𝑐)和𝐴𝐶再次交于点𝐹．设△𝐴𝐸𝐹的外接圆和Ω的交点为𝐾（异于点𝐴）．𝜔_(𝑏)和𝐾𝐵再次交于点𝑃，𝜔_(𝑐)和𝐾𝐶再次交于点𝑄．△𝐷𝑃𝑄的外心为点𝑂，求证：𝐾、𝑂、𝐷三点共线．

5. 𝑃为△𝐴𝐵𝐶内一点．𝐵𝑃交𝐴𝐶于点𝐸，𝐶𝑃交𝐴𝐵于点𝐹．𝐴𝑃和△𝐴𝐵𝐶的外接圆再次交于点𝑋．△𝐴𝐵𝐶的外接圆和△𝐴𝐸𝐹的外接圆再次交于点𝑆．𝐵𝐶上一点𝑇满足𝑃𝑇//𝐸𝐹．求证：△𝑆𝑇𝑋的外接圆过𝐵𝐶的中点．

6. 设𝐷为△𝐴𝐵𝐶的外接圆上一点．𝐸在𝐴𝐶上，𝐹在𝐴𝐵上，使得𝐴、𝐷、𝐸、𝐹四点共圆．𝑀为𝐵𝐶中点．若𝐷𝑀、𝐵𝐸、𝐶𝐹三线共点，求证：𝐵𝐸和𝐶𝐹的交点在圆𝐴𝐷𝐸𝐹上，或𝐸𝐹//𝐵𝐶．