Mathematical Reflections 2022年第四期征解题

Junior Problems

J595. 解方程：

公式：\sqrt[3]{(x-1)^2}-\sqrt[3]{2(x-5)^2}+\sqrt[3]{(x-7)^2}=\sqrt[3]{4x}

J596. 设𝑥，𝑦为正实数．求证：

J597. 设𝑎，𝑏，𝑐为正实数，且满足

求证：

J598. 求不定方程

的整数解．

J599. 设𝑎，𝑏，𝑐为正实数．求证：

公式：(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq 3abc\left(\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}}+\sqrt{\frac{a}{c}}\right)

J600.△𝐴𝐵𝐶的三边分别为𝑎，𝑏，𝑐．𝑟为内切圆半径，𝑅为外接圆半径．求证：

公式：\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\geq 4-\frac{2r}{R}

Senior Problems

S595. 求所有三元实数组(𝑥,𝑦,𝑧)，使得

公式：\sqrt[4]{1-x}+\sqrt[4]{16+y}=\sqrt[4]{1-y}+\sqrt[4]{16+z}=\sqrt[4]{1-z}+\sqrt[4]{16+x}=3

S596.△𝐴𝐵𝐶的三边分别为𝑎，𝑏，𝑐．求证：

公式：\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}

S597. 实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑≥−1满足𝑎^(3)+𝑏^(3)+𝑐^(3)+𝑑^(3)=0．求𝑎+𝑏+𝑐+𝑑的最大值．

S598.△𝐴𝐵𝐶的三边分别为𝑎，𝑏，𝑐．Δ为面积．求证：

公式：(a^2+b^2+c^2)^6\geq (4\sqrt{3}\Delta)^6+(2a^2-b^2-c^2)^6

S599.𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形．△𝐵𝐶𝐷的外接圆在点𝐶处的切线交𝐴𝐵于点𝐸，交𝐴𝐷于点𝐹．△𝐴𝐸𝐹的外接圆在点𝐸和点𝐹处的切线交于点𝑋．求证：𝐴，𝐶，𝑋三点共线．

S600. 设𝑎，𝑏，𝑐为正实数．求证：

公式：\frac{8a}{3b^2+2bc+3c^2}+\frac{8b}{3c^2+2ca+3a^2}+\frac{8c}{3a^2+2ab+3b^2}\geq \frac{9}{a+b+c}

Undergraduate Problems

U595. 求所有ℝ→ℝ的非常数函数𝑓，使得：
(i)对任意𝑥，𝑦∈ℝ，有𝑓(𝑥)𝑓(𝑦+1)=𝑓(𝑥+1)𝑓(𝑦)；
(ii)𝑓在每个区间[𝑎,𝑏]⊂ℝ上可积．

U596. 设𝑝为素数．记𝑁_(𝑝)为满足𝑎，𝑏，𝑐∈{0,1,⋯,𝑝−1}且

U597. 计算：

公式：\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}-\cdots\right)^2

U598. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90^(∘)，𝐹为费尔巴哈点，𝑂为外心．若𝐴𝐹=𝑂𝐹，求∠𝐴𝐵𝐶．

U599. 计算：

公式：\int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1+x+x^2+x^3+x^4+x^5} d x

U600. 称一个正整数𝑘是“好的”，如果存在非常数多项式𝑃(𝑥)使得

公式：P(n^k)=P(n)P(n-1)\cdots P(n-k+1)

对任意正整数𝑛恒成立．求所有“好的”正整数𝑘．

Olympiad Problems

O595. 由一些大于1的整数组成的集合𝐴满足：对𝐴中任意𝑛个（𝑛≥2）互异的元素𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)，𝑎_(1)𝑎_(2)⋯𝑎_(𝑛)−1的所有大于1的约数都在𝐴中．假设𝐴中至少含有两个元素，求证：𝐴包含所有大于1的整数．

O596. 实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎≥𝑏≥𝑐≥0，且𝑎^(2)+𝑏^(2)+𝑐^(2)=3．求证：

O597.𝐴𝐵𝐶为三角形，𝑥，𝑦，𝑧为正实数．求证：

公式：4+\frac{r}{R}+\frac{x}{y+x}(1+\cos A)+\frac{x}{y+z}(1+\cos A)+\frac{y}{z+x}(1+\cos B)+\frac{z}{x+y}(1+\cos C)\geq(\sin A+\sin B+\sin C)^2

O598. 实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足

公式：a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=n-1

求证：

公式：a_1^3+a_2^3+\cdots+a_n^3\leq n+1-\frac{6n-4}{n^2}

并求出等号成立条件．

O599. 一所学校有𝑛个孩子，将所有孩子分成大小不一的团体，使得没有任何孩子独自一人．接下来，所有孩子一起去公园，令他们围坐在圆桌旁，每组围着一张桌子．求所有可能的排法总数．（写成关于𝑛的封闭表达式）
即：将𝑛个孩子分成若干组，再对每组进行圆排列．

O600. 在任意△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式：\frac{\sin A}{1+\cos^2 B+\cos^2 C}+\frac{\sin B}{1+\cos^2 C+\cos^2 A}+\frac{\sin C}{1+\cos^2 A+\cos^2 B}\leq \sqrt{3}