Mathematical Reflections 2022年第六期征解题

Junior Problems

J607. 求所有整数𝑘，使得对任意整数𝑚和𝑛，
公式：(3m^2-4n^2)^2+(4m^2-3n^2)^2+7mn(10m^2+kmn+10n^2)均为完全平方数．

J608. 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑均为整数，且满足𝑎𝑑为奇数，𝑏𝑐为偶数．求证：若方程

J609. 求所有三元实数组(𝑥,𝑦,𝑧)，使得

公式：\begin{cases} x^2-9y-2\sqrt{z-4}+22=0\\ y^2-9z-2\sqrt{x-4}+22=0\\ z^2-9x-2\sqrt{y-4}+22=0\\ \end{cases}

J610. 𝑎,𝑏,𝑐为[0,1]上三个互异的实数．求

的最小值．

J611. 𝑎,𝑏,𝑐均为正实数．求证：

公式：\begin{aligned} &3(ab+bc+ca)\\ \leq&a\sqrt{b^2+8c^2}+b\sqrt{c^2+8a^2}+c\sqrt{a^2+8b^2}\\ \leq&(a+b+c)^2 \end{aligned}

J612. 𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形．过点𝐶作△𝐵𝐶𝐷的外接圆交直线𝐴𝐵于点𝐸，交直线𝐴𝐷于点𝐹．设𝑂为△𝐴𝐸𝐹的外心．求证：𝐴𝑂⊥𝐵𝐷．

Senior Problems

S607. 设𝑘为正整数，公式：a=1+k^2(2k^2+1)(2k^2+2k+1)，𝑏=2𝑘^(2)．求证：对任意正整数𝑛，𝑎𝑏^(𝑛)+1均为合数．

S608. 设𝑎,𝑏,𝑐为正实数，求证：

公式：\begin{aligned} &\frac{3}{a^3+b^3+c^3}\\ \le&\frac{1}{a(a^2+2bc)}+\frac{1}{b(b^2+2ca)}+\frac{1}{c(c^2+2ab)}\\ \le&\frac{1}{abc} \end{aligned}

S609. 设△𝐴𝐵𝐶的三条中线长为𝑚_(𝑎)，𝑚_(𝑏)，𝑚_(𝑐)，面积为Δ．求证：

公式：\begin{aligned} &\sqrt{2(m_am_b+m_bm_c+m_cm_a-3\sqrt{3}\Delta)}\\ \ge&\max\{m_a,m_b,m_c\}-\min\{m_a,m_b,m_c\} \end{aligned}

S610. 求证：在任意△𝐴𝐵𝐶中，

公式：\begin{aligned} &\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\\ \le&\frac{1}{\sqrt{3}}\left(1+\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\right) \end{aligned}

S611. 素数𝑝，𝑞满足𝑝≡−23(mod60)，𝑞≡−47(mod120)，𝑞=2𝑝−1，设𝑛=𝑝𝑞．求证：𝑛满足以下结论：

S612. 给定平面上一个三角形△𝐴𝐵𝐶和一点𝑂．设𝐷=𝐴𝑂∩𝐵𝐶，𝐸=𝐵𝑂∩𝐴𝐶，𝐹=𝐶𝑂∩𝐴𝐵，𝑄=𝐷𝐹∩𝐴𝐶，𝑅=𝐷𝐸∩𝐴𝐵，𝑆=𝐴𝐷∩𝑅𝑄．过点𝐵且平行于𝐷𝐸的直线交𝐴𝐶于点𝑋，过点𝐶且平行于𝐷𝐹的直线交𝐴𝐵于点𝑌．设𝑋𝑌∩𝐵𝐶=𝑇．若𝑆𝐵,𝑆𝐶,𝑆𝐸,𝑆𝐹分别和𝐴𝑇交于点𝐾,𝐿,𝑀,𝑁．求证：|𝐾𝑁|=|𝑁𝐴|=|𝐴𝑀|=|𝑀𝐿|．

Undergraduate Problems

U607. 设𝑝为素数，整数𝑚,𝑛满足𝑚≥𝑛≥0，求证：

公式：\begin{aligned} &\binom{2p+m}{2p+n}+\binom{m}{n}+\binom{m}{2p+n}+2\binom{m}{p+n}\\ \equiv&\left[2\binom{p+m}{p+n}+2\binom{p+m}{2p+n}\right]\pmod{p^2} \end{aligned}

U608. 考虑形式幂级数：

求𝑓(𝑓(𝑥))展开式中𝑥^(10)的系数．

U609. 𝑓：ℝ→ℝ为连续函数，且满足对任意𝑥∈[0,1]，都有𝑓(𝑥)≥2𝑥．记

公式：I_f=\int_0^1xf(x)^3\mathrm{d}x,I_g=\int_0^1x^3f(x)\mathrm{d}x

求𝐼_(𝑓)−3𝐼_(𝑔)的最小值．

U610. 设𝑛为正整数，求值：

公式：\int_0^{\infty}x^{n-1}e^{-x}\left\{\sum_{k=0}^{\infty}\binom{n}{k}(-1)^k\cos\left(x+\frac{k\pi}{2}\right)\right\}\mathrm{d}x

U611. 称由实数组成的集合𝐴为“好的”，如果存在互异的非零实数𝑥_(1),⋯,𝑥_(𝑛)∈𝐴，和不全为零的整数𝑦_(1),⋯,𝑦_(𝑛)，使得

设𝑃(𝑥)是一个有理系数的二次多项式．求证：集合

是“好的”．

U612. 设𝑛为非负实数，𝑚∈{0,1,2,⋯,𝑛}．求值：

公式：\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\binom{2n-2k}{n+m}

Olympiad Problems

O607. 设𝑎_(1),⋯,𝑎_(𝑘)和𝑏均为正整数，设𝑓(𝑡)=(𝑡+𝑎_(1))⋯(𝑡+𝑎_(𝑘))．求证：存在无穷多个正整数𝑛，使得𝑃(𝑓(𝑛))≥𝑃(𝑓(𝑛+𝑏))，其中𝑃(𝑚)为整数𝑚≥2的最大素因子．（例如𝑃(81)=𝑃(3)=3，𝑃(56)=𝑃(14)=7．）

O608. 求正整数𝑘的最小可能值，使得不定方程

O609. △𝐴𝐵𝐶的外接圆为Γ，外心为𝑂，点𝐷,𝐸在边𝐵𝐶上，且满足∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸．过𝐷作𝐴𝐷的垂线与𝐴𝐵,𝐴𝐶分别交于点𝐾,𝐿；过𝐸作𝐴𝐸的垂线与𝐴𝐵,𝐴𝐶分别交于点𝑀,𝑁．△𝐴𝑀𝑁和△𝐴𝐾𝐿的外接圆分别与Γ再次交于点𝐹,𝐺．求证：𝐷,𝐸,𝐹,𝐺四点共圆．

O610. 𝑎,𝑏,𝑐均为正实数，求证：

公式：a^2\sqrt{\frac{a+b}{a+c}}+b^2\sqrt{\frac{b+c}{b+a}}+c^2\sqrt{\frac{c+a}{c+b}}\ge ab+bc+ca

O611. 设𝑚≥2，𝑎_(1),⋯,𝑎_(𝑚)为不全相等的正整数．求证：存在有限多个正整数𝑛，使得(𝑛+𝑎_(1))⋯(𝑛+𝑎_(𝑚))为一个正整数的𝑚次幂．

O612. 正实数𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒满足

公式：a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+abcde=6