Mathematical Reflections 2021年第四期征解题

初级组(Junior Preblems)

J559． 设

公式：a_n=1-\dfrac{2n^2}{1+\sqrt{1+4n^4}},n=1,2,3,\cdots

J560． 设𝑎，𝑏，𝑐为正实数．求证：

公式：\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{5}{b^2}+\dfrac{45}{c^2}>\dfrac{16}{(a+b)^2}+\dfrac{24}{(b+c)^2}+\dfrac{48}{(c+a)^2}．

J561． 求下述方程组的非零实数解：

公式：x-\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=y-\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}=z-\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{x}=0．

J562． 已知𝐷，𝐸，𝐹分别为△𝐴𝐵𝐶三边𝐵𝐶，𝐶𝐴，𝐴𝐵上的点，且𝐴𝐷，𝐵𝐸，𝐶𝐹交于一点𝑋．假设(𝐵𝐷)/(𝐷𝐶)，(𝐶𝐸)/(𝐸𝐴)，(𝐴𝐹)/(𝐹𝐵)的值均在区间[(1)/(5),5]中，且

公式：\dfrac{BD}{DC}+\dfrac{CE}{EA}+\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{31}{5}．

公式：\dfrac{AX}{XD}+\dfrac{BX}{XE}+\dfrac{CX}{XF}

J563． 设实数𝑎,𝑏,𝑐≥0满足

J564． 求所有复数𝑧，满足对于任意实数𝑎和正整数𝑛，都有

公式：(\cos a+z\sin a)^n=\cos na+z\sin na．

高级组(Senior Problems)

S559． 设正实数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)满足𝑎_(1)+𝑎_(2)+⋯+𝑎_(𝑛)≤𝑛．求

S560． 非负实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=2．求证：

公式：\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c}{a^2+ab+b^2}+8\geq \dfrac{10}{ab+bc+ca}．

S561． 设𝑝为素数．求下述方程的正整数解：

公式：(x^2-yz)^3+(y^2-zx)^3+(z^2-xy)^3-3(x^2-yz)(y^2-zx)(z^2-xy)=p^2．

S562． 设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为非负实数．求证：

公式：\begin{align*} &(a+b+c+d)^3+9(abc+bcd+cda+dab)\\ \geq&4(a+b+c+d)(ab+ac+ad+bc+bd+cd)． \end{align*}

S563． 设𝑎，𝑏，𝑐为不同的正实数．求证以下三式至少有一个不等于4：

公式：\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2(1-b^4);\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2(1-c^4);\left(c+\dfrac{1}{c}\right)^2(1-a^4)

S564． 设𝑥，𝑦，𝑧为非负实数．求证：

公式：\begin{align*} &\dfrac{x^3+y^3+z^3+3xyz}{xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)}+\dfrac{5}{4}\\ \geq&(xy+yz+zx)\left[\dfrac{1}{(x+y)^2}+\dfrac{1}{(y+z)^2}+\dfrac{1}{(z+x)^2}\right]． \end{align*}

大学组(Undergraduate Problems)

U559． 计算：

U560． 设1，1，2，3，5，8，⋯为斐波那契数列．计算

公式：\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\left(1+\dfrac{\cot 1}{\cot\dfrac{1}{2}}+\dfrac{\cot \dfrac{1}{2}}{\cot\dfrac{1}{3}}+\dfrac{\cot \dfrac{1}{3}}{\cot\dfrac{1}{5}}+\dfrac{\cot \dfrac{1}{5}}{\cot\dfrac{1}{8}}+\cdots\right)．

译者注：本题原文有误，似乎应为

公式：\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\cot\dfrac{1}{F_{k-1}}}{\cot\dfrac{1}{F_k}}

U561． 斐波那契数列𝐹_(𝑛)定义如下：

公式：F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,F_0=0,F_1=1．

求证：

公式：2F_nF_{n+1}^5-2F_n^5F_{n+1}=F_n^6+F_{n+1}^6-F_{n+1}^2-F_n^2．

U562． 已知𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形．动点𝑃和𝑄分别在边𝐴𝐵和𝐵𝐶上，且满足∠𝑃𝐷𝑄=45^(∘)．求△𝑃𝐷𝑄垂心的轨迹．

U563． 求所有的实系数多项式𝑃(𝑥)，满足对于任意实数𝑥，都有

公式：\left(P(x^2)+x\right)\left(P(x^3)-x^2\right)=P(x^5)+x．

U564． 计算：

公式：\lim\limits_{n\to +\infty}(-1)^{n+1}\cdot\sin\left(\sum\limits_{k=1}^{4n}\arctan\dfrac{k^4+3k^2-1}{k^4-k^2+7}\right)．

奥林匹克问题(Olympiad Problems)

O559． 设实数𝑥，𝑦，𝑧∈(−1,1)满足

求(𝑧)/(𝑥+𝑦)的最小值．

O560． 求证：存在无穷多个三元整数组(𝑎,𝑏,𝑐)，满足𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=1，且(𝑎^(2)+1)(𝑏^(2)+1)(𝑐^(2)+1)为完全平方数．

O561． 设𝐴𝐵𝐶为三角形．求证：

公式：\sum\limits_{cyc}\dfrac{a^2}{1+\cos^2B+\cos^2C}\leq \dfrac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)．

O562． 求所有函数𝑓:ℝ→ℝ满足对任意实数𝑥，𝑦，都有

公式：x^2f(y)+f(y^2f(x))=xyf(x+y)．

O563． 求证：在任意△𝐴𝐵𝐶中，有

公式：\sqrt{\dfrac{m_a}{h_a}}+\sqrt{\dfrac{m_b}{h_b}}+\sqrt{\dfrac{m_c}{h_c}}+\dfrac{6(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 5．

O564． 设整数𝑛≥3．对任意实数列

以及每个𝑘=1,2,⋯,𝑛，定义

公式：D_k(x_2,\cdots,x_{n-1})=\left|\prod_{j\neq k}(x_k-x_j)\right|

并记公式：r_n=\max\limits_{x_2,\cdots,x_{n-1}}\min\limits_{k}D_k(x_2,\cdots,x_{n-1})．

假设数列

公式：D_2(a_2,\cdots,a_{n-1})=\cdots=D_{n-1}(a_2,\cdots,a_{n-1})．