Mathematical Reflections 2023年第一期征解题

Junior Problems

J613. 求所有整数𝑛≥2，使得𝑛−1和𝑛^(2)+1均能整除𝑛^(4)+2039．

J614. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏𝑐=1．求证：
公式：\dfrac{a}{\sqrt{1+b^2 c+b c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{1+c^2 a+c a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{1+a^2 b+a b^2}} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{3}}

J615. 在任意△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式：\frac{m_b m_c}{\left(m_b+m_c\right)^2} \leq \frac{2 a^2+b c}{8 a^2+(b+c)^2}

J616. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=3．求证：

公式：\dfrac{a(b+c)^2}{a+3}+\dfrac{b(c+a)^2}{b+3}+\dfrac{c(a+b)^2}{c+3} \leq 3

J617. 求证：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形当且仅当
公式：2\left(a^2 \cos A+b^2 \cos B+c^2 \cos C\right) \geq \sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}

J618. 在△𝐴𝐵𝐶中，𝑤_(𝑎)、𝑤_(𝑏)、𝑤_(𝑐)分别为三条角平分线的长度．求证：
公式：w_a\left(b c-a^2\right)+w_b\left(c a-b^2\right)+w_c\left(a b-c^2\right) \geq 0

Senior Problems

S613. 解方程：

公式：2(\sin x+\cos x)+\sec x+\csc x=4 \sqrt{2}

S614. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足

求证：

公式：\sqrt[3]{2abc}\le\max(a,b,c)\le\sqrt[3]{4abc}

S615. 在△𝐴𝐵𝐶中，求证：

公式： \dfrac{a^2}{b c}+\dfrac{b^2}{c a}+\dfrac{c^2}{a b} \geq \dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a b+b c+c a}-\dfrac{2 r}{R}

S616. △𝐴𝐵𝐶的重心为𝐺．射线𝐴𝐺和边𝐵𝐶以及△𝐴𝐵𝐶的外接圆分别交于点𝐴_(1)、𝐴_(2)．类似定义点𝐵_(1)、𝐵_(2)和𝐶_(1)、𝐶_(2)．求证：
(1)公式：A_1 A_2+B_1 B_2+C_1 C_2 \geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}
(2)公式：\dfrac{A_1 A_2}{A A_2+2 A_1 A_2}+\dfrac{B_1 B_2}{B B_2+2 B_1 B_2}+\dfrac{C_1 C_2}{C C_2+2 C_1 C_2}=\dfrac{1}{2}

S617. 已知𝑓(𝑥)=1+𝑥+𝑥^(2)+⋯+𝑥^(2023)．求𝑓(𝑥^(5))𝑓(𝑥^(9))的展开式𝑥^(2023)的系数．

S618. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=1．求证：

公式：\frac{1}{a b c}+\frac{4 \sqrt{2}}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{9+4 \sqrt{2}}{a b+b c+c a}

Undergraduate Problems

U613. 求证：存在无穷多个实系数多项式𝑃(𝑥)，使得对任意满足𝑥^(2)+𝑦^(2)+𝑧^(2)=𝑥𝑦𝑧+4的实数𝑥，𝑦，𝑧，都有
公式：P(x)^2+P(y)^2+P(z)^2+2P(x)P(y)P(z)=1

U614. 设𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑛)为正实数．考虑无穷级数

公式：S_1=\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{a_k\left(\ln \left(\ln a_k\right)\right)^r}

和

公式：S_2=\sum_{k=3}^{\infty} \frac{1}{a_k(\ln (\ln k))^s}

其中𝑠≥𝑟>0为实数．求证：若𝑆_(1)收敛，则𝑆_(2)收敛．

U615. 计算：

公式：\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos (\sin (\cos x))-1}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}

U616. 设𝑓：ℝ→ℝ为连续函数，且对任意𝑥∈ℝ，都有

公式：f(f(f(x)))+f(f(x))-f(x)-x=0

求证：任意𝑥∈ℝ，都有𝑓(𝑓(𝑥))=𝑥．

U617. 斐波那契数列和卢卡斯数列定义如下：𝐹_(𝑛+2)=𝐹_(𝑛+1)+𝐹_(𝑛)，𝐹_(0)=0，𝐹_(1)=1；𝐿_(𝑛+2)=𝐿_(𝑛+1)+𝐿_(𝑛)，𝐿_(0)=2，𝐿_(1)=1．计算：

公式： \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\dfrac{F_1}{F_{2 n}}\right)\left(1+\dfrac{F_2}{F_{2 n}}\right) \cdots\left(1+\dfrac{F_n}{F_{2 n}}\right)\right]^{L_n}

U618. 设𝑑为正整数，𝑛=((𝑑)/(2))．𝑧_(1)，⋯，𝑧_(𝑑)为单位复数．对任意整数1≤𝑖<𝑗≤𝑑，考虑实数𝑥=|𝑧_(𝑖)−𝑧_(𝑗)|^(2)，将这些实数按照某种顺序排列成数列𝑥_(1)，𝑥_(2)，⋯，𝑥_(𝑛)．求证：

公式：\sum_{1 \leq i< j \leq n} x_i x_j \leq \frac{d^4-3 d^2}{2}

Olympiad Problems

O613. 求不定方程

的整数解．

O614. 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

求证：

公式： a b c+b c d+c d a+d a b+36 \geq 12(a+b+c+d)

O615. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=3．求证：

O616. 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=3．求证：

公式： \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \geq 2\left(a^2+b^2+c^2\right)-(a b+b c+c a)

O617. 设𝑎<𝑏<𝑐<𝑑为正整数．求证：

公式：\gcd(a !+1, b !+1, c !+1, d !+1)< d^{\frac{d-a}{3}}

O618. 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形．求证：

公式： \sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2}-\dfrac{3}{2} \geq k\left(\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}-\dfrac{1}{8}\right)