Mathematical Reflections 2021年第五期征解题

初级组(Junior Preblems)

J565． 设𝑓(𝑚,𝑛)=(𝑚𝑛+4)^(2)+4(𝑚−𝑛)^(2)．求证：𝑓(2021^(2),2023^(2))能被(2022^(2)+1)^(2)整除．

J566． 设正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足𝑎𝑏𝑐+𝑏𝑐𝑑+𝑐𝑑𝑎+𝑑𝑎𝑏=1．求证：

公式：\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}}+\frac{1}{1+d^{3}} \leq \frac{16}{5}

J567． 设𝑥，𝑦，𝑧为实数，𝑧≠0，且满足

公式：\left|\frac{y^{2}}{z}-2 x z\right| \leq 2,\left|y^{2} z+\frac{2 x}{z}\right| \leq 2

求𝑥^(2022)+𝑦^(2)的最大值．

J568． 设△𝐴𝐵𝐶为不等边三角形，𝑀为𝐵𝐶的中点．△𝐴𝑀𝐵的外接圆与𝐴𝐶交于点𝐷(异于点𝐴)，△𝐴𝑀𝐶的外接圆与𝐴𝐵交于点𝐸(异于点𝐴)．设𝑁为𝐷𝐸的中点，求证：𝑀𝑁和△𝐴𝐵𝐶中的𝐴-陪位中线平行．

J569． 设𝑎，𝑏，𝑐为正实数．求证：

公式：\sqrt[4]{\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}}}+\sqrt[4]{\frac{2 b c}{b^{2}+c^{2}}}+\sqrt[4]{\frac{2 c a}{c^{2}+a^{2}}}+\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8 a b c} \geq 4

J570． 设△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，求证：

公式：\left(\frac{\sin A+\sin B}{\cos C}\right)^{2}+\left(\frac{\sin B+\sin C}{\cos A}\right)^{2}+\left(\frac{\sin C+\sin A}{\cos B}\right)^{2} \geq 36 \text {. }

高级组(Senior Problems)

S565． 设𝑎，𝑏，𝑐，𝜆为正实数，求证：

公式：\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a b c(\lambda+1)^{3}}{(a+\lambda b)(b+\lambda c)(c+\lambda a)} \geq 4

S566． 设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑为正实数，且满足

公式：a b c d=3+2(a+b+c+d)+(a b+a c+a d+b c+b d+c d)

求证：

公式：a b+a c+a d+b c+b d+c d \geq 3(a+b+c+d)+18

S567． 设正实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧=1，(𝑥−𝑦𝑧)(𝑦−𝑧𝑥)(𝑧−𝑥𝑦)>0．求证：

公式：\frac{1}{x-y z}+\frac{1}{y-z x}+\frac{1}{z-x y} \geq \frac{2}{x+y z}+\frac{2}{y+z x}+\frac{2}{z+x y}

S568． 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=60^(∘)，𝑂为外心，𝐼为内心．设𝑀为𝐴𝐼和△𝐴𝐵𝐶外接圆的另一交点．求证：若𝑂𝐼=𝐼𝑀，则𝐴𝐵=√(2)𝐴𝐼．

S569． 求所有十进制下的完全平方数，其由1个6和𝑛个1所组成，其中𝑛为正整数．

S570． 设正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

公式：a b c+a b d+a c d+b c d=a b+a c+a d+b c+b d+c d

且没有两个小于1，而另外两个大于1．求证：

大学组(Undergraduate Problems)

U565． 设𝑝为素数，且整数𝑏_(1)，𝑏_(2)，⋯，𝑏_(𝑝−1)构成模𝑝的一个简化剩余系．整数𝑎_(1)，𝑎_(2)，⋯，𝑎_(𝑝−1)满足𝑝∣𝑎_(1)𝑏_(1)+𝑎_(2)𝑏_(2)+⋯+𝑎_(𝑝−1)𝑏_(𝑝−1)．求证：存在1，2，⋯，𝑝−1的一个排列𝑖_(1)，𝑖_(2)，⋯，𝑖_(𝑝−1)，使得如下循环矩阵的行列式也能被𝑝整除：

公式：\left(\begin{array}{ccccc} a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & \ldots & a_{i_{p-2}} & a_{i_{p-1}} \\ a_{i_{p-1}} & a_{i_{1}} & a_{i_{2}} & & a_{i_{p-2}} \\ \vdots & a_{i_{p-1}} & a_{i_{1}} & \ddots & \vdots \\ a_{i_{3}} & & \ddots & \ddots & a_{i_{2}} \\ a_{i_{2}} & a_{i_{3}} & \ldots & a_{i_{p-1}} & a_{i_{1}} \end{array}\right)

U566． 求如下方程的实数解：

公式：125^{x}+64^{\frac{1}{x}}+81 \cdot 5^{x} \cdot 4^{\frac{1}{x}}=27^{3}

U567． 设𝑑为一个正偶数，𝐶为一个复数．求证：不存在次数至少为2的复系数多项式𝑄(𝑥)和𝑅(𝑥)，使得

公式：\left(x-1^{2}\right)\left(x-3^{2}\right) \ldots\left(x-(d-1)^{2}\right)+C=Q(R(x))

U568． 设实数𝑎>2．计算：

公式：\int_{0}^{a} \frac{\tan ^{-1} x}{a x^{2}-a x+a-1} d x

U569． 设𝑑为正整数，𝑃(𝑋)=𝑎_(0)+𝑎_(1)𝑋+…+𝑎_(𝑑)𝑋^(𝑑)为正系数多项式．求证：对任意在(0,∞)上均取正值的首一多项式𝑓∈ℝ[𝑋]，存在正整数𝑚，使得𝑃(𝑋)^(𝑚)𝑓(𝑋)的所有系数均为非负数．

U570． 解如下微分方程：

公式：\frac{d y}{d x}=\tan (x-y)+\cot (x-y)

奥林匹克问题(Olympiad Problems)

O565． 设𝑎，𝑏，𝑐为三角形的三边长，𝑠=(𝑎+𝑏+𝑐)/(2)为半周长，𝑟为内切圆半径．记

公式：x=\sqrt{\frac{s-a}{s}}, y=\sqrt{\frac{s-b}{s}}, z=\sqrt{\frac{s-c}{s}} \text {. }

设𝑆=𝑥+𝑦+𝑧，𝑄=𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥．求证：

O566． 设正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎𝑏𝑐=1．求证：

公式：\frac{(a+b+1)^{2}}{a^{3}+b^{3}+1}+\frac{(b+c+1)^{2}}{b^{3}+c^{3}+1}+\frac{(c+a+1)^{2}}{c^{3}+a^{3}+1} \leq 9

O567． 设不等边△𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼，外心为𝑂．𝑁为△𝐴𝐵𝐶的九点圆圆心，𝑀为𝐵𝐶的中点．已知𝑂𝐼的中点在边𝐵𝐶上，求证：𝐼𝑀和𝐴𝑁平行．

O568． 正实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥^(2)+𝑦^(2)+𝑧^(2)+𝑥𝑦𝑧=4．求证：

公式：\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^{2}+11 x y z \geq 20

O569． 正实数𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎+𝑏+𝑐=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎．求证：

公式：\frac{4 a b c}{(1+a)(1+b)(1+c)}+4 \leq \frac{3 a}{1+a}+\frac{3 b}{1+b}+\frac{3 c}{1+c} \leq 5

O570． 求所有十进制下的完全平方数，其由1个4和𝑛个9所组成，其中𝑛为正整数．