2021年Deux数学奥林匹克

第一天

1. 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足𝑎+𝑐=𝑏+𝑑，且𝑎𝑏=3𝑐𝑑．求最大的常数𝑘，使得不等式

   公式：k\cdot \dfrac{ac+bd}{a+b-c-d}\leq\sqrt[4]{(a^{2}-ab+b^{2})(c^{2}-cd+d^{2})}

   恒成立．

2. 设△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，垂心为𝐻．𝑀和𝑁分别为边𝐴𝐶和𝐴𝐵的中点，𝐸和𝐹分别为𝐵和𝐶在对边的垂足．𝐸𝐹和𝑀𝑁交于点𝑃，𝑁𝐸和𝑀𝐹交于点𝑇．设𝑆和𝑄分别为𝑂𝐻和𝑃𝑇的中点．若𝑆𝑄和𝑀𝑁交于△𝐴𝑃𝑇外接圆上一点𝐾，且𝑆，𝑄，𝐾在直线上顺次排列，求证：4⋅𝑃𝐻=𝐴𝐻．

3. Alexia和Slexia在2𝑛×1大小的瓷砖上(从左到右依次记作𝑣_(1)，𝑣_(2)，⋯，𝑣_(20))进行一个回合制游戏．游戏从Alexia开始，每个人可以在其回合中进行如下操作之一：
   ∙从某一块瓷砖𝑣_(𝑖)(1≤𝑖≤2𝑛)上拿走1枚硬币；
   ∙从某一块瓷砖𝑣_(𝑖)上拿走2枚硬币，并从𝑣_(𝑖−1)和𝑣_(𝑖+1)上各自拿走1枚硬币(2≤𝑖≤2𝑛−1)．
   并保持瓷砖始终是“完整”的．
   “完整”状态的定义如下：
   在每一回合中，若一块瓷砖上拥有至少一枚硬币，则瓷砖为白色的(游戏开始时所有瓷砖都是白色的)．当瓷砖上没有硬币时，瓷砖颜色变为黑色．若所有的白瓷砖恰好为𝑣_(𝑎)，𝑣_(𝑎+1)，⋯，𝑣_(𝑏)(1≤𝑎≤𝑏≤2𝑛)，或根本没有白瓷砖，则称瓷砖是“完整”的．（即含有硬币的瓷砖连续）
   在𝑣_(1)和𝑣_(2𝑛)上各放1枚硬币，其余瓷砖上各放2枚硬币．求所有的𝑛，使得Alexia总能进行最后一步操作，并留给Slexia空的2𝑛×1块瓷砖．
   (注：本题的翻译参考了印尼语版本，英文版私货过多且难以读懂．)

第二天

4. 给定正整数𝑛≥3与集合𝐴，𝐵，其中集合𝐴，𝐵都是3维空间中𝑛个不同的点构成的集合．每分钟，Slexia可以在集合𝐴中任选两个不同的点𝑋，𝑌，然后Slexia 将𝑋绕𝑌点旋转，将旋转得到的点替换𝑋放入集合𝐴中．证明：在有限的时间内，Slexia可以将集合𝐴变换为集合𝐵.
   (注：由于𝐴为集合，在变换过程中𝐴中不会有重复的点)

5. 我们称函数𝑓：ℕ→ℕ是"最终满射函数“，当且仅当存在𝑁∈ℕ，满足对任意的𝑛≥𝑁，都存在𝑚∈ℕ，有𝑓(𝑚)=𝑛．求出所有的最终满射函数𝑓：ℕ→ℕ，满足

   公式：f(f(a))+b\mid a^2+f(a)f(b)，\forall a,b\in\mathbb{N}

6. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=45^(∘)，𝑂是其外心，𝐿是𝐵𝐶中点，𝐷是𝐴在𝐵𝐶上的射影．线段𝐴𝐷上一点𝐺满足∠𝐵𝐺𝐶=90^(∘)，𝑂关于𝐿的对称点为𝑁，点𝐸，𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶中由𝐵，𝐶所作高的垂足，𝑂𝐺与𝐸𝐹交于𝐻点，𝐴𝐻和圆𝐴𝐵𝐶的另一个交点为𝐼，𝑁𝐼和圆𝐴𝐵𝐶的另一个交点为𝐾，证明：𝐺，𝐾，𝐿三点共线．