Mathematical Reflections 2022年第五期征解题

Junior Problems

J601. 实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足7>𝑎≥𝑏+1≥𝑐+3≥𝑑+4．求证：

公式：\frac{1}{7-a}+\frac{4}{6-b}+\frac{9}{4-c}+\frac{16}{3-d} \geq a+b+c+d

J602. 求证：对任意正实数𝑥，都有

并说明等号成立条件．

J603. △𝐴𝐵𝐶的重心为𝐺．𝑀、𝑁、𝑃、𝑄分别为线段𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐴、𝐴𝐺的中点．求证：若

公式：\sin(A-B)\sin C=\sin(C-A)\sin B

则𝑀、𝑁、𝑃、𝑄四点共圆．

J604. 奇正数𝑚，𝑛，𝑝满足(𝑚−𝑛)(𝑛−𝑝)(𝑝−𝑚)=0且

求𝑚𝑛𝑝的最小值．

J605. 求证：
(1)对任意△𝐴𝐵𝐶，

公式：\frac{m_a^2}{b c}+\frac{m_b^2}{c a}+\frac{m_c^2}{a b} \geq 2+\frac{r}{2 R}

(2)若△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，则

公式：\frac{m_a^2}{b^2+c^2}+\frac{m_b^2}{c^2+a^2}+\frac{m_c^2}{a^2+b^2} \leq 1+\frac{r}{4 R}

J606. 设实数𝑎，𝑏，𝑐∈[0,1]．求证：

公式：2 \leq \frac{b+c}{1+a}+\frac{c+a}{1+b}+\frac{a+b}{1+c}+2(1-a)(1-b)(1-c) \leq 3

Senior Problems

S601. 在整数范围内解方程：

公式：16 x^2 y^2\left(x^2+1\right)\left(y^2-1\right)+4\left(x^4+y^4+x^2-y^2\right)=2023^2-1

S602. 对任意整数𝑛>1，设

公式：A=\frac{1}{n+1}\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}\right)

公式：B=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right) \cdots\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)

比较𝐴和𝐵的大小．

S603. △𝐴𝐵𝐶的内心为𝐼，重心为𝐺．直线𝐴𝐺交𝐵𝐶于点𝐸，直线𝐴𝐼交𝐵𝐶于点𝐷，交△𝐴𝐵𝐶的外接圆于点𝑀．点𝑃为𝐸在𝐴𝑀上的射影．求证：若(𝐴𝐵+𝐴𝐶)^(2)=16𝐴𝑃⋅𝐷𝑀，则𝐺𝐼平行于𝐵𝐶．

S604. 实数−1≤𝑥,𝑦,𝑧≤1，且𝑥+𝑦+𝑧+𝑥𝑦𝑧=0．求证：

S605. 锐角△𝐴𝐵𝐶的外心为𝑂，外接圆半径为𝑅．设△𝑂𝐵𝐶、△𝑂𝐶𝐴、△𝑂𝐴𝐵的外接圆半径分别为𝑅_(𝑎)、𝑅_(𝑏)、𝑅_(𝑐)．求证：△𝐴𝐵𝐶为等边三角形当且仅当

公式：R^3+R^2\left(R_a+R_b+R_c\right)=4 R_a R_b R_c

S606. 设𝑎，𝑏，𝑐为正实数．求证：

公式：\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+a b c \geq a+b+c+1

Undergraduate Problems

U601. 实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足多项式公式：P(x)=x^5-10x^4+ax^3+bx^2+cx+d的所有根均大于1．求𝑎+𝑏+𝑐+𝑑的最小值．

U602. 设𝑎，𝑏>0．计算

公式：\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_0^n \frac{x^n}{\sqrt{a x^{2 n}+b}} \mathrm{~d} x

U603. 求所有函数𝑓：ℝ→ℝ，满足以下条件：
(1)对任意𝑥，𝑦∈ℝ，公式：f(x+1) f(y)-f(x y)=(2 x+1) f(y)．
(2)对任意𝑥≥2，𝑓(𝑥)>2𝑥．

U604. 若

公式：f(m)=\int_0^1 \frac{\left(x^m-1\right) \ln (1+x)}{x \ln (x)} \mathrm{d} x

求

公式：\lim _{m \rightarrow 0}\left(\frac{2 \pi^2}{9 m}-\frac{8 f(m)}{3 m^2}\right)

U605. 非零复数𝑎，𝑏，𝑐的模长相等，且满足

其中𝑟为实数．
(1)求证：−1≤𝑟≤3．
(2)求证：若𝑟<3，则𝑎𝑥^(2)+𝑏𝑥+𝑐=0，𝑏𝑥^(2)+𝑐𝑥+𝑎=0，𝑐𝑥^(2)+𝑎𝑥+𝑏=0中有且仅有一个方程有模为1的根．

U606. 求所有双射函数𝑓：ℤ→ℤ，使得对任意满足|𝑚−𝑛|为奇数的正整数𝑚，𝑛，都有

公式：f^{(m n+1)}(m+n)=f(m) f(n)

这里𝑓^((𝑘))表示𝑘次迭代𝑓∘𝑓∘…∘𝑓．

Olympiad Problems

O601. 求所有整数𝑛，使得(𝑛+1)^(2)+(2𝑛+1)^(2)为完全平方数．

O602. 正实数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑满足

求证：

公式：a b+a c+a d+b c+b d+c d+6 \geq 5(a+b+c+d)

O603. 求所有三元非负整数组(𝑥,𝑦,𝑧)使得

O604. 设整数𝑛>2．对{1,2,⋯,𝑛}的任意一个非空子集𝐴={𝑎_(1),⋯,𝑎_(𝑘)}，设𝑚_(𝐴)为𝐴中所有元素的算术平均值．在两个不同集合𝐴和𝐵取遍{1,2,⋯,𝑛}的所有非空子集时，求|𝑚_(𝐴)−𝑚_(𝐵)|的最小值．

O605. 𝑎，𝑏，𝑐为正实数，𝑥，𝑦，𝑧为实数．求证：

公式：\frac{a b x y}{a+b+2 c}+\frac{b c y z}{b+c+2 a}+\frac{c a z x}{c+a+2 b} \leq \frac{1}{4}\left(a x^2+b y^2+c z^2\right)

O606. 求证：任意连续六个正整数的乘积不为整数的五次方．