【勘误】2023年香港IMO代表队第一次选拔考试试题

为了参加数学竞赛，Mandy需要早起．从早上5点30分开始，她每15分钟在手机上设置一次闹钟．如果她或她的母亲（或其他任何人）没有关闭闹钟，它会响一会儿，停一会儿，然后在9分钟后再次响起，依此类推（例如，如果第一个闹钟没有关闭，它会在早上5:39再次响起）．每个闹钟也将独立工作．现在假设每次铃声持续𝑥分钟，并且在Mandy早上6:30醒来之前手机最终响了50分钟（假设在此之前没有人关闭任何闹钟）．求𝑥的值．

设𝑛为正整数．求证：若素数𝑝整除5^(4𝑛)−5^(3𝑛)+5^(2𝑛)−5^(𝑛)+1，则𝑝≡1(mod4)．

点𝑃在等边△𝐴𝐵𝐶内部，且满足𝐴𝑃=15，𝐵𝑃=8．求△𝐴𝐵𝑃和△𝐵𝐶𝑃面积之和的最大值．

实数𝑥，𝑦，𝑧满足𝑥+𝑦+𝑧≠0．求公式：\dfrac{|x|+|x+4y|+|y+7z|+2|z|}{|x+y+z|}的最小值．

𝐴𝐵𝐶𝐷为凸四边形，且满足𝐴𝐵=5，𝐴𝐷=17，𝐶𝐷=6．若∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐴𝐷𝐶的角平分线交于𝐵𝐶的中点．求𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．

(1)在平面上作一些直线，使其恰好产生2022个交点，求直线数量的最小值．（注：产生1个交点，至少2条直线；产生2个交点，至少3条直线；产生3个交点，至少4条直线；产生5个交点，至少4条直线，以此类推．）
(2)要恰好产生2022个交点，结论如何？